Enunciado

Se 100 x unidades de uma determinada mercadoria forem demandadas sendo p o preço por unidade, x 2 + p 2 = 36 . Ache rendimento total máximo absoluto.

Passo 1

Seja p reais o preço por unidade, temos 100 x unidades demandadas e x 2 + p 2 = 36 , ou seja,

p = 36 - x 2

Assim, R x = 100 x ⋅ p = 100 x 36 - x 2           x ∈ [ 0,6 ] (Função rendimento total máximo absoluto).

Passo 2

Agora vamos derivar usando a regra do produto para descobrir onde ocorrerá o rendimento máximo.

R ' x = 100 36 - x 2 + x ( 36 - x 2 ) ' 2 36 - x 2 = 100 36 - x 2 - x 2 36 - x 2

R ' x = 100 36 - x 2 - x 2 36 - x 2 = 100 36 - 2 x 2 36 - x 2

Igualando a 0 , temos:

100 36 - 2 x 2 36 - x 2 = 0       →       36 - 2 x 2 = 0     →       x 2 = 18       →         x = 3 2

Agora x = 3 2 é um ponto crítico, porém a função R é contínua em [ 0,6 ] e o máximo ocorre nos extremos ou no ponto crítico.

Passo 3

Verificando os extremos e o ponto crítico, nós temos o seguinte:

R 3 2 = 100 3 2 36 - 3 2 2 = 300 2 ⋅ 36 - 18 = 300 2 18 = 1800 Reais

R 0 = 100 0 36 - 0 2 = 0

R 6 = 100 6 36 - 6 2 = 0

O maior valor é R 3 2 = 1800 Reais . E este é o rendimento total máximo absoluto.

Resposta

1800 Reais

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