Enunciado

Sob um monopólio (veja Exercício 31 nos Exercícios 4.8), x unidades são demandadas diariamente sendo p o preço por unidade e x 2 + p = 320 . Se o custo total da produção de x unidades for dado por C x = 20 x , ache o lucro total diário máximo.

Passo 1

Pessoal, o lucro é dado pela receita total menos o custo, certo? Vamos considerar p reais o preço por unidade. Então teremos a seguinte função:

L x = R x - C x = R x - 20 x

Vamos achar R ( x ) . Se x 2 + p = 320 , então p = 320 - x 2 e R x = x p = x 320 - x 2 . Sendo assim,

L x = x 320 - x 2 - 20 x = 320 x - x 3 - 20 x = 300 x - x 3

L x = 300 x - x 3

Passo 2

Para achar o lucro máximo, basta derivar e igualar a 0 para verificar os pontos críticos.

L ' x = 300 - 3 x 2 = 0     →       300 = 3 x 2 →       x 2 = 100     →       x = 10

Perceba que se x > 10 , L ' x < 0 e se x < 0 , L ' x > 0 , isso indica justamente um ponto de máximo, mas será que é absoluto? Sim!

A função é descrescente após o x = 10 e nosso x ≥ 0 , para x = 0 , temos L 0 = 0 . Então o nosso máximo absoluto em 0 , ∞ é:

L 10 = 300 ⋅ 10 - 10 3 = 3000 - 1000 = 2000

Portanto o lucro máximo diário é 2000 .

Resposta

2000  Reais

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

50. Trajetória de aterrissagem de um avião. Um avião que voa à altitude H começa a descer rumo à pista de pouso de um aeroporto que está a uma distância terrestre horizontal L do avião, como mostra a
53. Fórmula do tamanho do lote de Wilson. Uma das fórmulas para gerenciamento de almoxarifado diz que o custo médio semanal para você encomendar, pagar e armazenar uma mercadoria é: A q = k m q + c m
Ache a altura do Cone circular reto com maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raia a.
Um cone circular reto deve ser inscrito em uma esfera com um dado raio. Ache a razão entre a altura e o raio da base do cone de maior volume possível.
Um cone circular reto deve ser inscrito em uma esfera com um dado raio. Ache a razão entre a altura e o raio da base do cone de Menor volume possível.