Enunciado

Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em ( 0,5 ) e ( 0 ,   - 5 ) e um vértice ( 0 ,   4 ) .

Passo 1

Primeiramente vamos achar o centro da hipérbole, para isso basta entendermos que os dois focos estão alinhados com o centro, que por sua vez está no meio dos dois pontos e é equidistante aos focos. Assim podemos calcular o ponto C (centro) como o ponto médio entre o segmento dos dois focos.

x c = 0 + 0 2 ,     y c = 5 + - 5 2

x c = 0 2 ,     y c = 0 2

x c = 0 ,     y c = 0

C   ( 0 ,   0 )

Passo 2

Agora vamos procurar a metade da distância focal c , para isso podemos fazer de duas maneiras. Calculando a distância entre os focos e dividir por 2 ou calcular a distância entre o centro e um dos focos. Abaixo segue o cálculo pelo segundo método.

c 2 = 0 - 0 2 + 0 - 5 2

c 2 = 0 2 + 5 2

c = 5

Passo 3

Agora vamos procurar a para isso vamos calcular a distância entre o centro e o vértice.

a 2 = 0 - 0 2 + 4 - 0 2

a 2 = 0 2 + 4 2

a = 4

Passo 4

Agora vamos aplica a Relação Pitagórica para encontrar b .

c 2 = a 2 + b 2

5 2 = 4 2 + b 2

9 = b 2

b = 3

Passo 5

Agora vamos organizar a fórmula desta hipérbole, como o eixo principal da hipérbole é paralelo ao eixo   y , então   a deverá estar abaixo das coordenadas de   y e o mesmo deverá ser positivo.

y 2 4 2 - x 2 3 2 = 1

y 2 16 - x 2 9 = 1

Resposta

y 2 16 - x 2 9 = 1

Segue a representação gráfica desta hipérbole

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