Enunciado

Mostre que a regra prática para se obter uma equação da reta tangente no ponto T = h , k não exige que a equação da hipérbole esteja na forma reduzida: é suficiente que ela contenha apenas termos em x 2   e   y 2 e o termo independente (por exemplo, α x 2 + β y 2 + γ = 0 ).

Passo 1

Sendo o ponto de tangência T = h , k conhecido temos que a regra prática para encontrarmos a reta tangente à hipérbole H : x 2 p + y 2 q = 1 basta aplicarmos a seguinte fórmula

h x p + k y q = 1   i

Que é idêntica a utilizada na elipse. Pois bem, para aplicarmos esse método não precisamos que a hipérbole esteja na forma reduzida e padrão como mostrada para H , podemos pegar uma equação genérica como mencionada no enunciado e passar para a forma reduzida e assim aplicarmos a regra como descrita passo a passo no livro. Sendo assim, precisamos apenas escrever a equação dada na forma de E e os passos até chegar na regra prática estão descritos no livro, então

α x 2 + β y 2 + γ = 0 → α x 2 + β y 2 = - γ

Dividindo todo mundo por - γ teremos

α x 2 γ + β y 2 γ = 1

x 2 γ α + y 2 γ β = 1

Fazendo α γ = p     e   β γ = q vamos obter

x 2 p + y 2 q = 1

Portanto, como conseguimos escrever a equação na forma mais geral como descrita no enunciado sob a forma de equação reduzida podemos ver claramente que é possível aplicar a regra prática para encontrarmos a reta tangente conhecendo um ponto de tangência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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