Enunciado

São dados, graficamente, o eixo transverso A 1 A 2 e os focos ( F 1 e F 2 ) de uma hipérbole. Descreva um método de construção com régua e compasso:

  1. de pontos da hipérbole, baseado apenas na Definição 22-9;
  2. da reta tangente e da reta normal à hipérbole, conhecido o ponto de tangência T .

Passo 1

A definição 22-9, nos diz que:

Dado dois pontos F 1 e F 2 distanciados de 2 c , a hipérbole é o conjunto de pontos de um plano tal que d P ,   F 1 - d P , F 2 = 2 a , onde 2 a < 2 c .

  1. Baseado na definição acima, podemos pensar no seguinte procedimento:
    1. Desenhamos o eixo A 1 A 2 e os focos F 1 ,   F 2 , respeitando as condições de existência da elipse;
    2. Tomemos um ponto X fora do segmento A 1 A 2 ;
    3. Traçamos a circunferência de centro F 1 e raio d A 1 ,   X ;
    4. Traçamos a circunferência de centro F 2 e raio d A 2 , X ;
    5. As intersecções das circunferências nos darão dois pontos da hipérbole.

    Veja o roteiro acima esquematizado na figura abaixo.

    Note que seguindo o roteiro acima, sempre iremos garantir que

    d P , F 1 - d P , F 2 = 2 a

    pois d P ,   F 1 é o raio da primeira circunferência, que vale d X , A 1 ; d P ,   F 2 é raio da segunda circunferência que vale d X , A 2 = d X , A 1 + 2 a . Logo, d P ,   F 2 - d P ,   F 1 = 2 a .

    Passo 2

Pela propriedade da reflexão, a reta tangente contém a bissetriz de F 1 T ^ F 2 . Portanto, basta desenhar tal bissetriz! A reta normal será perpendicular à reta tangente no ponto T .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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