Enunciado

Ache uma equação da reta tangente ao gráfico de y = l n ⁡ ( 4 x 2 - 3 ) 5 no ponto cuja abcissa é 1.

Passo 1

Sabemos que a reta tangente a uma curva pode ser calculada a partir da derivada dessa curva, que nos dará o coeficiente angular dessa reta. Nessa passo, vamos calcular a derivada de y .

Temos um teorema que diz:

S e   a   f o r   u m   n ú m e r o   p o s i t i v o   q u a l q u e r   e   r   u m   n ú m e r o   r a c i o n a l   q u a l q u e r ,   e n t ã o   l n   a r = r ln ⁡ a

Com base nisso, vamos reescrever y .

y = 5  ln ⁡ 4 x 2 - 3 d y d x = 5 * 8 x 4 x 2 - 3 d y d x = 40 x 4 x 2 - 3

Passo 2

A reta tangente tem que ser tangente ao gráfico de y no ponto x = 1 . Vamos substtuir esse valor na equação da curva para descobrirmos quanto vale y .

y 1 = 5 ln ⁡ 4 * 1 2 - 3 y 1 = 5 ln ⁡ 1 y 1 = 5 * 0 y 1 = 0 Logo, o ponto pelo qual a reta tangente passa é P ( 1,0 ) .

Passo 3

Como dito no primeiro passo, a derivada da função nos dá o coeficiente angular da reta tangente. No ponto P ( 1,0 ) temos:

m = 40 x 4 x 2 - 3 m = 40 * 1 4 * 1 2 - 3 m = 40

Passo 4

Tendo em mãos as informações obtidas anteriormente, vamos descobrir a equação da reta tangente:

y - y o = m x - x o y - 0 = 40 x - 1 y = 40 x - 40

Resposta

A tangente ao gráfico é:

y = 40 x - 40

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35 – 46. Use a diferenciação logarítimica para achar a derivada de função.43. y = ln ⁡ x x
35 – 46. Use a diferenciação logarítimica para achar a derivada de função.42. y = sin ⁡ x x
2 – 20. Diferencie a função.18. G u = ln ⁡ 3 u + 2 3 u - 2
21 – 24. Encontre y ' e y ' ' .21. y = x ln ⁡ x