Enunciado

35 – 46. Use a diferenciação logarítimica para achar a derivada de função.45. y = x e x

Passo 1

Para usar a diferenciação logaritimica a gente precisa primeiro ter um logaritimo. Então vamos aplicar o ln dos dois lado da equação:

ln ⁡ y = ln ⁡ x e x

Existe uma propriedade do log que diz que:

ln ⁡ x a = a ln ⁡ x

Então podemos reescrever a equação dessa forma:

ln ⁡ y = e x ⋅ ln ⁡ x

Para derivar essa expressão precisamos usar a derivação implícita. Aplicando a derivada na equação:

d d x ln ⁡ y = d d x e x ⋅ ln ⁡ x

Passo 2

Devemos usar a regra da cadeia para o termo da esquerda:

1 y ⋅ y ' = d d x e x ⋅ ln ⁡ x

E a regra do produto para o termo da diretira:

y ' y = d d x e x ⋅ ln ⁡ x + d d x ln ⁡ x ⋅ e x

y ' y = e x ⋅ ln ⁡ x + 1 x ⋅ e x

y ' y = e x ln ⁡ x + 1 x

Agora é só isolar y ' e substituir y pela expressão dada no enunciado:

y ' = y ⋅ e x ln ⁡ x + 1 x

Substituindo y na equação, temos a derivada que procurávamos:

y ' = x e x ⋅ e x ln ⁡ x + 1 x

Resposta

y ' = x e x ⋅ e x ln ⁡ x + 1 x

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