Enunciado

Ache uma equação que seja satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto cuja distância ao ponto - 1 ,   2 seja o dobro da distância a 3 ,   - 4 . Faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Para encontrar todos os pontos x ,   y cuja distância d 1 ao ponto - 1 ,   2 seja duas vezes a distância d 2 ao ponto 3 ,   - 4 , precisamos lembrar da fórmula de distância entre dois pontos:

d = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Passo 2

d 1 = 2 d 2

x - - 1 2 + y - 2 2 = 2 ⋅ x - 3 2 + y - - 4 2

x + 1 2 + y - 2 2 = 4 x - 3 2 + y + 4 2

x 2 + 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 = 4 x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 8 y + 16

x 2 - 4 x 2 + 2 x + 24 x + y 2 - 4 y 2 - 4 y - 32 y = 36 + 64 - 1 - 4

- 3 x 2 + 26 x - 3 y 2 - 36 y = 95

Passo 3

Temos uma equação, mas ela não é ideal para construirmos um gráfico pois não se parece com nenhuma que conhecemos. Logo, completaremos quadrados para tentar transformá-la em algo que conheçamos.

- 3 x 2 - 26 3 x - 3 y 2 + 12 y = 95

- 3 x 2 - 2 ⋅ 13 3 x + 13 3 2 - 13 3 2 - 3 y 2 + 2 ⋅ 6 y + 6 2 - 6 2 = 95

- 3 x - 13 3 2 - 3 y + 6 2 = 95 - 3 ⋅ 169 9 - 3 ⋅ 36 = 285 - 169 - 324 3 = - 208 3

x - 13 3 2 + y + 6 2 = 208 9

Passo 4

Pela equação acima, o conjunto de pontos procurado é uma circunferência de centro 13 3 ,   - 6 e raio r = 208 9 = 4 3 ⋅ 13 .

Resposta

x - 13 3 2 + y + 6 2 = 208 9

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Dada a reta x = 2 + t y = 3 - t z = - 4 + 2 t Determinar o ponto r tal que c) a cota seja o quádruplo da abscissa.
Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:b) A 3,1 , 4 ; B ( 3 , - 2,2 ) .