Enunciado

Ache as equações das mediatrizes dos lados de um triângulo com vértices A(-1, -3), B(5, -3) e C(5, 5). E prove que elas se encontram em um ponto.

Passo 1

Inicialmente vamos marcar os pontos no plano cartesiano e fazer o esboço do triângulo.

Como as mediatrizes de um triângulo são retas perpendiculares a cada lado passando pelo ponto médio do respectivo lado, precisamos determinar os pontos médio.

Ponto médio de AB:

M A B = - 1 + 5 2 , - 3 - 3 2 ⇒

M A B = 4 2 , - 6 2 ⇒

M A B = 2 , - 3

Ponto médio de AC:

M A C = - 1 + 5 ) 2 , - 3 + 5 2 ⇒

M A C = 4 2 , 2 2 ⇒

M A C = 2 , 1

Ponto médio de BC:

M B C = 5 + 5 2 , - 3 + 5 2 ⇒

M B C = 10 2 , 2 2 ⇒

M B C = 5 , 1

Passo 2

Vamos determinar a inclinação de cada lado do triângulo.

Lado AB:

m A B = - 3 - - 3 5 - - 1 ⇒

m A B = - 3 + 3 5 + 1 ⇒

m A B = 0 6 ⇒

m A B = 0

O lado AB é paralelo ao eixo x.

Lado AC:

m A C = 5 - - 3 5 - - 1 ⇒

m A C = 5 + 3 5 + 1 ⇒

m A C = 8 6 ⇒

m A C = 4 3

Lado BC:

Vamos fazer um abuso de notação neste caso.

m B C = 5 - - 3 5 - 5

Observe que esta divisão não existe (denominador é zero). Isto garante que o segmento BC é perpendicular ao eixo x.

Passo 3

Vamos analisar cada um dos lados do triângulo.

Lado AB:

Este lado é paralelo ao eixo x. Logo a mediatriz deve ser perpendicular ao eixo x passando pelo ponto médio do lado AB, ou seja, pelo ponto M A B = 2 , - 3 .

Portando a mediatriz do segmento AB deve ter equação x = 2

Lado AC:

Precisamos encontrar a inclinação m da mediatriz de AC de forma que m A C . m = - 1 . Assim

m A C . m = - 1 ⇒

4 3 . m = - 1 ⇒

4 m = - 3 ⇒

m = - 3 4

Substituindo, na equação y - y 0 = m ( x - x 0 ) , a inclinação e o ponto M A C = 2,1 encontrados anteriormente, temos

y - 1 = - 3 4 x - 2 ⇒

y - 1 = - 3 x 4 + 6 4 ⇒

y - 1 = - 3 x 4 + 3 2 ⇒

y = - 3 x 4 + 3 2 + 1 ⇒

y = - 3 x 4 + 3 2 + 1 ⇒

y = - 3 x 4 + 3 + 2 2 ⇒

y = - 3 x 4 + 5 2

Logo, a mediatriz do lado AC tem equação y = - 3 x 4 + 5 2 .

Lado BC:

Como este lado é perpendicular ao eixo x, a mediatriz deve ser paralela ao eixo x, ou seja, deve ter inclinação nula passando pelo ponto médio do lado BC, ou seja, pelo ponto M B C = 5,1 .

Portanto a mediatriz do segmento BC tem equação y = 1 .

Passo 4

Vamos fazer a intercessão entre as mediatrizes dos lados AB e AC. Para isso, basta substituir x = 2 na equação da mediatriz de AC. Assim

y = - 3 . 2 4 + 5 2 ⇒

y = - 6 4 + 5 2 ⇒

y = - 6 + 10 4 ⇒

y = 4 4 ⇒

y = 1

Logo o ponto de interseção das mediatrizes de AB e AC é (2, 1).

Agora vamos achar o ponto de intercessão entre as mediatrizes dos lados BC e AC. Para isso, basta substituir y = 1 na equação da mediatriz de AC. Assim

1 = - 3 x 4 + 5 2 ⇒

1 - 5 2 = - 3 x 4 ⇒

2 - 5 2 = - 3 x 4 ⇒

- 3 2 = - 3 x 4 ⇒

3 2 = 3 x 4 ⇒

12 = 6 x ⇒

x = 12 6 ⇒

x = 2

Logo o ponto de interseção das mediatrizes de BC e AC é (2, 1).

Portando as três mediatrizes do triângulo ABC se interceptam no ponto (2, 1).

Observação: O ponto de encontro dessas três mediatrizes é chamado de circuncentro.

Resposta

Assim, as equações das mediatrizes são y = - 3 x 4 + 5 2 , y = 1 e x = 2 . E o ponto de intercessão entre elas é (2, 1).

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Se A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 4), C = (2, 3, −1) e D = (3, 1, 3), mostre que as retas AB e CD são reversas
Sejam A = (0, 1, 0), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e D = (0, 0, 1). Mostre que as retas AB e CD têm um ponto em comum, o qual pertence também à reta EF, onde E = (1, 0, 0) e F = (0, 1, 1). Interprete e