Enunciado

Escreva equações paramétricas da reta r , perpendicular às retas s e t e que passa pela intersecção das mesmas. Dados:

⎧ x   =   1   +   α

s   ⎢ y   =   - α e

                ⎩ z   =   2 +   α

  ⎧   x   =   2   - β

      t     ⎢   y   =   - 1   +   β

                  ⎩   z   =   1 +   β

Passo 1

Como vai, gente? Vamos começar essa questão escrevendo as equações paramétricas da reta r :

x = x 0 + λ l

y = y 0 + λ m

z = z 0 + λ n

Essa reta tem vetor diretor dado por v → = ( l , m , n ) . Como a reta r é perpendicular às retas s e t , então o vetor diretor de r é perpendicular aos vetores diretores de s e t . Os vetores diretores das retas s e t são, respectivamente

v → s = ( 1 , - 1,1 )

v → t = ( - 1,1 , 1 )

Passo 2

A questão nos diz que as retas s e t se interceptam num ponto. Qualquer ponto em s e t pode ser escrito como S = ( 1 + α , - α , 2 + α ) ou T = ( 2 - β , - 1 + β , 1 + β ) . Os dois pontos devem ser iguais na interseção, o que significa que

1 + α = 2 - β

- α = - 1 + β

2 + α = 1 + β

As duas equações tem o mesmo resultado: β = 1 - α , enquanto a terceira resulta em β = 1 + α . Essas duas equações só podem ser simultaneamente verdadeiras se α = 0 e β = 1 . Assim, ficamos com

S = ( 1 + α , - α , 2 + α ) = ( 1,0 , 2 )

T = ( 2 - β , - 1 + β , 1 + β ) = ( 2 - 1 , - 1 + 1,1 + 1 ) = ( 1,0 , 2 )

Então, conseguimos mostrar que S = T para α = 0 e β = 1 .

Passo 3

A reta que queremos deve passar pela interseção de s e t , ou seja, no ponto ( 1,0 , 2 ) e tem vetor diretor v → = ( l , l , 0 ) . Nesse caso, ficamos com

x = 1 + λ l

y = λ l

z = 2

Como a reta deve ser perpendicular a s e t , então seu vetor diretor deve ser paralela ao vetor obtido a partir do produto vetorial de v → s = ( 1 , - 1,1 ) e v → t = ( - 1,1 , 1 ) (que determinamos no Passo 1):

Ou seja, devemos ter

v → = α ( - 2 , - 2,0 )

Como não temos nenhuma restrição para α , podemos escolher um valor mais conveniente. Nesse caso, vamos escolher α = 1 2 . Assim, ficamos com

v → = ( - 1 , - 1,0 )

e a equação paramétrica da reta se torna

x = 1 - λ

y = - λ

z = 2

Resposta

x = 1 - λ ,   y = - λ ,   z = 2

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18. Representar graficamente as retas de equações:c) x = y = z
17. Na reta r : y = 2 x + 3 z = x - 1 , determinar o ponto de:c) Ordenada igual ao triplo da cota.
19. Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:e) A 3 ,- 1 ,3 e B 3 ,3 ,4 .
Escrever as equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A 4 ,- 5 ,3 e são, respectivamente, paralelas aos eixos O x , O y e O z .
Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r 1 e r 2 : r 1 : y = 2 x - 3 z = - x + 5e r 2 : y = - 3 x + 7 z = x + 1