Enunciado

Ache os extermos relativos das funções trigonométricas dadas usando o teste da derivada segunda.

Função co-seno.

Passo 1

Vamos começar achandos os pontos críticos da função. Porque eles são os candidatos a extremo. Para isso vamos pegar a derivada de f x .

f x = cos ⁡ x

f ' x = - sen ⁡ x

Os pontos crítos são aqueles que a derivada é 0 ou não existe. Aqui só vamos olhar quando a derivada é 0 .

f ' x = 0 → - sen ⁡ x = 0

sen ⁡ x = 0

O seno é 0 em:

x = 0

Ou

x = π

Mas como temos uma função seno, temos que somar as voltas que é 2 k π , com k nos inteiros

x = 2 k π

x = 0 + 2 k π

Passo 2

Agora, vamos tentar aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos

f ' ' x < 0 ⇒ M á x i m o f ' ' x > 0 ⇒ M í n i m o

Se f ' ' x = 0 ou não existir, não funciona o teste.

Vamos ter

f ' ' x = - cos ⁡ x

Temos que ver o valor de f ' ' x para x = 0 e x = π , isso porque os outros, somando 2 k π , vão ter os mesmo valores de cosseno.

Primeiro x = 0 :

f ' ' 0 = - cos ⁡ 0 = - 1 < 0

Logo x = 0 é ponto de Máximo relativo.

E todos os valores,

x = 2 k π

Com k inteiro, também.

Passo 3

Agora x = π :

f ' ' π = - cos ⁡ π = - - 1 = 1 > 0

Logo x = π é ponto de mínimo relativo.

E todos os valores,

x = π + 2 k π

Com k inteiro, também.

Resposta

Máximo relativo:

x = 2 k π

Com k inteiro.

Mínimo relativo:

x = π + 2 k π

Com k inteiro.

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Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = 2 x + x 2 / 3
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e use o teste da derivada primera para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou nenhum dos dois.(a) f x = x 1 3 x - 7 2
Em cada parte, encontre todos os pontos críticos e uso e teste da derivada segunda (quando possível) para classifica-los em máximos ou mínimos relativos, ou em nenhum dos dois. f x = x - 1 / 2 + 1 9 x
Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f dada: f x = x 4 - 2 x 2 + 7
Use o gráfico para encontrar as coordenadas x dos extremos absolutos e relativos de f em [ 0,7 ]