Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 16, encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

1 6 )   g x = c o t g 2 x ;     x ∈ ( 0 , π 2 )  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

g x = c o t g 2 x

g ' x = - 2 c o s s e c ² ( 2 x )

g ' ' x = 8 . c o s s e c 2 2 x . c o t g ( 2 x )

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando f ' ' x = 0 :

8 . c o s s e c 2 2 x . c o t g 2 x = 0

Como:

cos sec ² ⁡ 2 x = 1 + c o t g ²   ( 2 x )

Esta função não poderá ser igualado a zero. Sendo assim nos resta analisar o termo cotangente:

c o t g 2 x = c o s ⁡ ( 2 x ) s e n ( 2 x ) = 0

c o s ⁡ ( 2 x ) = 0

Para que a função cosseno seja igual a 0:

2 x = π 2 → x = π 4

Para determinar se existe ou não um ponto de inflexão neste ponto, precisamos verificar se f ' ' x muda de sinal.

Sendo assim,   x = π 4 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função e traçando as retas tangentes aos pontos de inflexão:

Resposta

Pontos de inflexão: x = π 4 .

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