Enunciado

Ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum.

f x = x 3 - 3 x + 5

- ∞ , 0

Passo 1

Essa função é um polinômio, então ela é contínua em todo o intervalo.

Nessa situação, para acharmos os extremos absolutos precisamos achar os extremos relativos que estejam no intervalo e depois os valores da função nos extremos do intervalo.

OBS: se o extremo do intervalo for aberto, não tem como calcular o valor ali, o que precisamos fazer é o limite da função.

Vamos procurar o extremo dessa função, primeiro com os pontos críticos, que são os pontos onde não existe derivada ou ela é 0

f ' x = 3 x 2 - 3

Aqui sempre teremos a derivada, vamos ver só quando é 0 .

3 x 2 - 3 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Só o x = - 1 está no intervalor, então vamos ver se é extremo.

Passo 2

Vamos usar o teste da segunda derivada para verificar se ele é máximo ou mínimo relativo.

Lembrando, se f ' ' x > 0 então é mínimo, se f ' ' x < 0 então é máximo.

Temos,

f ' ' x = 6 x

Para x = - 1

f ' ' - 1 = - 6 < 0

Logo é ponto de máximo relativo

Passo 3

Agora vamos pegar as bordas do intervalo, mas elas são infinito. Como faz isso? Basta calcularmos o limites no infinito mesmo, e no 0 no caso né.

lim x → - ∞ ⁡ f x

E

lim x → 0 ⁡ f x

Primeiro o em 0

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ x 3 - 3 x + 5 = 0 3 - 3 0 + 5 = 0 - 3 + 5 = 5

Passo 4

Vamos para o limite no - ∞

Vamos colocar x 3 em evidência:

f x = x 3 1 - 3 x 2 + 5 x 3

Os limites vão ser

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 1 - 3 x 2 + 5 x 3 = - ∞ 3 1 - 0 + 0 = - ∞ . 1 = - ∞

Esse valor vai nos levar a não ter mínimo absoluto.

Passo 5

Por fim, temos que comparar os valores de f x para os extremos relativos que pegamos e para as boras do intervalo.

lim x → 0 ⁡ f x = 5

E x = - 1

f - 1 = - 1 3 - 3 - 1 + 5 = - 1 + 3 + 5 = 7

Dentre esses dois o maior é em x = - 1 que estão no intervalo, então ele é o máximo absoluto.

Resposta

x = - 1 → f - 1 = 7 → M á x i m o   a b s o l u t o

Não possúi mínimo absoluto.

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