Enunciado

Prove: Se f x ≥ 0 em um intervalo e se f x tiver um valor máximo nesse intervalo em x 0 , então a função f x também tem um valor máximo em x 0 . Analogamente para valores mínimos. [Sugestão: Use o fato de que x é uma função crescente no intervalo 0 ,   + ∞ .

Passo 1

Então pessoal, vamos considerar que no intervalo que nos foi cedido, que é 0 ,   + ∞ , temos um ponto x 0 qualquer que é menor que um ponto x qualquer, tudo bem? Em outras palavras:

x 0 ≥ x

Se f x tem um valor de máximo nesse intervalo, então:

f x ≤ f x 0

Tirando a raíz quadrada de ambos os lados da inequação:

f x ≤ f x 0

Exatamente porque nossa função x é crescente. Se a nossa função muda de sinal a partir de x 0 e provamos que   f x ≤ f x 0 , então fica provado que e se f x tiver um valor máximo nesse intervalo em x 0 , então a função f x também tem um valor máximo em x 0 ! A prova para valores mínimos é a mesma galera, a diferença é que f x 0 ≤ f x !

E essa é a nossa prova!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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1. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .a) f é côncava para cima no intervalo I e tem exatamente um extremo relativo.
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.9. f x = x + 1 x 2 + 3
2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .c) f tem exatamente um ponto de inflexão e um extremo relativo em I .
7-14. Localize todos os pontos críticos e identifique quais deles são pontos estacionários.7. f x = 4 x 4 - 16 x 2 + 17
2. Em cada parte, esboce o gráfico de uma função contínua com as propriedades indicadas, onde I = - ∞ ,+ ∞ .d) f tem infinitos extremos relativos e f x → 0 quando x → + ∞ e x → - ∞ .