Enunciado

Suponha que a intensidade de uma fonte pontual de luz seja diretamente proporcional à potência da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte. Dois pontos de luz com potências S e 8 S estão separados por uma distância de 90   c m . Onde, no segmento de reta entre as duas fontes, a intensidade é mínima?

Passo 1

Então galera, de acordo com o que o enunciado nos informa, temos que a expressão geral da intensidade de uma fonte pontual de luz pode ser escrita assim:

I = k S x 2

No qual S é a potência da luz e k é uma constante de proporcionalidade! Como no nosso caso temos duas fontes de luz que distam 90   c m uma da outra, então:

I x = k S x 2 + 8 k S 90 - x 2 ,   0 < x < 90

Aqui vale ressaltar que, de acordo com a questão, uma das fontes possui 8 S de potência, e por isso aparece esse segundo termo na equação, ok? Show!

Passo 2

Como queremos saber o valor de x no segmento de reta para o qual a intensidade luminosa é mínima, então devemos utilizar os conceitos de cálculo que conhecemos! Derivando nossa função:

d I d x = - 2 k S x 3 - 2.8 k S . - 1 90 - x 3

d I d x = 2 k S 8 x 3 - 90 - x 3 x 3 90 - x 3

d I d x = 18 k S x - 30 x 2 + 2700 x 3 x - 90 3

Igualando a zero:

18 k S x - 30 x 2 + 2700 x 3 x - 90 3 = 0

E isso só dá zero se:

x - 30 = 0

Ou se:

x 2 + 2700 = 0

Da segunda equação não tiramos nada, pois não conseguimos extrair raíz quadrada de um número negativo! Da primeira, tiramos que:

x = 30

Sendo assim, podemos concluir que em x = 30   c m no segmento de reta entre as duas fontes, a intensidade é mínima! 😉

Resposta

x = 30   c m

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