Enunciado

Ache

int_0^t e^(- | x |) . d x

Se t for um número real qualquer.

Passo 1

Para começar, devemos analisar duas situações distintas. A primeira, quando t > 0 então x > 0 , ou seja:

|x| = x

Então:

int_0^t e^(- | x |) . d x = int_0^t e^(- x) . d x

Se chamarmos

- x = u

- d x = d u

d x = - d u

int_0^t e^(- x) . d x = - int_0^t e^u . d u = - e^u = - e^(- x) | [[t],[0]] = - (e^(- t) - e^0) = 1 - e^(- t)

Passo 2

Para a segunda, quando t < 0 então x < 0 , ou seja:

|x| = - x

Então:

int_0^t e^(- | x |) . d x = int_0^t e^x . d x

int_0^t e^x . d x | [[t],[0]] = e^x = (e^t - e^0) = e^t - 1

Podemos combinar os dois casos e escrever na forma de s g n t ( 1 - e^(- |t|) ) .

Resposta

int_0^t e^(- | x |) . d x = s g n t ( 1 - e^(- |t|) )

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