Ache o limite, se existir.

lim t → + ∞ ⁡ t 2 + t - t 2 + 4

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação ∞ - ∞ para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Para isso vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de t 2 + t - t 2 + 4 .

lim t → + ∞ ⁡ t 2 + t - t 2 + 4 ∙ t 2 + t + t 2 + 4 t 2 + t + t 2 + 4

lim t → + ∞ ⁡ t 2 + t - t 2 + 4 t 2 + t + t 2 + 4

lim t → + ∞ ⁡ t - 4 t 2 + t + t 2 + 4

Passo 2

Agora vamos por t 2 + 4   em evidência de todos os termos do denominador.

lim t → + ∞ ⁡ t - 4 t 2 + 4 t 2 + t t 2 + 4 + t 2 + 4 t 2 + 4    

lim t → + ∞ ⁡ t - 4 t 2 + 4 t 2 + t t 2 + 4 + 1  

Passo 3

Agora vamos aplicar o Teorema de Limites 6 e elevar ao quadrado e tirar raiz quadrada de t - 4 temos:

lim t → + ∞ ⁡ t - 4 2 t 2 + 4 t 2 + t t 2 + 4 + 1  

lim t → + ∞ ⁡ t - 4 2 t 2 + 4   lim t → + ∞ ⁡ 1 t 2 + t t 2 + 4 + 1  

Passo 4

Agora vamos desenvolver t - 4 2   e por t 2 em evidência de todos os termos.

lim t → + ∞ ⁡ t 2 + 8 t + 16 t 2 + 4   lim t → + ∞ ⁡ 1 t 2 + t t 2 + 4 + 1  

lim t → + ∞ ⁡ t 2 + 8 t + 16 t 2 + 4   lim t → + ∞ ⁡ 1 t 2 + t t 2 + 4 + 1  

lim t → + ∞ ⁡ t 2 1 + 8 t + 16 t 2 t 2 1 + 4 t 2   lim t → + ∞ ⁡ 1 t 2 1 + 1 t t 2 1 + 4 t 2 + 1  

lim t → + ∞ ⁡ 1 + 8 t + 16 t 2 1 + 4 t 2   lim t → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 t 1 + 4 t 2 + 1  

Passo 5

Por fim usando o Teorema de Limites 13 temos:

1 + 0 + 0 1 + 0 1 1 + 0 1 + 0 + 1

1 1 1 1 1 + 1

1 2

Resposta

lim t → + ∞ ⁡ t 2 + t - t 2 + 4 = 1 2

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