Enunciado

Ache a massa total e o centro de massa

18. O comprimento da barra é 10 m e a medida da densidade linear em um ponto é uma função linear da medida da distância do ponto ao extremo esquerdo da barra. A densidade linear no extremo esquerdo da barra. A densidade linear no extremo esquerdo é 2 kg/m e no extremo direito é de 3 kg/m.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade é uma função linear, ou seja, ela pode ser esxrita da seguinte forma:

ρ x = a x + b

onde x é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

O exercico ainda fornce duas outras informações.

1-a densidade no extremo esquerdo é 2 kg/m. Como o extremo esquedo é a posição zero, podemos escrever da seguinte forma: ρ 0 = 2 .

2-a densidade no extremo direito é 3 kg/m. Como o extremo direito é a ultima posição que a barra ocupa, então é o próprio comprimento da barra. Podemos escrever então: ρ 10 = 3 .

Agora que sabemos essas informações podemos usar um sistems para achar a densidade da barra.

2 = a 0 + b 3 = a 10 + b

b = 2 , logo substituindo na segunda equação:

3 = 10 a + 2

a = 1 10

Com isso temos que a densidade dessa barra é escrita da seguinte forma:

ρ x = 1 10 x + 2

Passo 3

Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:

M t = ∫ 0 l ρ ( x ) d x

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e l é o comprimento da barra.

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação:

M t = ∫ 0 10 ( 1 1 0 x + 2 ) d x

Isso é, a massa total vai ser a integral da densidade.

M t = [ 1 20 x 2 + 2 x ] | 10 0  

M t = ( 1 20 ( 10 ) 2 + 2 ( 10 ) ) - ( 0 2 + 0 )

M t = 25 k g

Achamos então a massa total da barra.

Passo 4

Para achar o centro de massa usaremos a seguinte relação:

x - = ∫ 0 l x ρ ( x ) M t

Onde l é o comprimento da barra e ρ ( x ) é a densidade.

Portanto temos a seguinte equação para o centro de massa:

x - = ∫ 0 10 x ( 1 1 0 x + 2 ) d x 25

x - = ∫ 0 10 ( 1 10 x 2 + 2 x ) d x 25

x - = x 3 30 + x 2 | 0 1 0 25

x - = 1 0 3 30 + 10 2 25

x - = 100 3 + 100 25 = 16 3 m

Resposta

Massa total: 25 k g

Centro de massa: 16 3 m

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