Ache a região limitada pelas duas parábolas:

r = 2 / (1 - cos(theta)) e r = 2 / (1 + cos(theta))

Passo 1

Primeiro passo é nós fazermos um esboço do que a gente tá trabalhando, para facilitar qualquer decisão tomada.

Em verde temos r = 2 ( 1 + cos ⁡ θ )   e   e m   r o x o   t e m o s     r = 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) .

Para calcular a área, basta transformarmos nossa função em coordenadas cartesianas e a partir dai calcular a integral de apenas uma (dentro dos limites), já que elas são simétricas.

Passo 2

Vamos transformar somente essa equação , pois vamos usar ela como uma simetria da outra.

r = 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

r = 2 1 - x r

r - x = 2

x 2 + y 2 - x = 2

y = 4 x + 2  

Integrando isso em x, temos que:

∫ - 1 0 4 x + 2   d x =   2 ( 6 - 2 3 )

Passo 3

Agora basta multiplicar por 2, para pegar a área das duas assíntotas.

2 6 - 2 3 * 2 = 4 6 - 2 3

Resposta

4 6 - 2 3

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