∫ 1 16 x 4 - 1 d x

Passo 1

Vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ 1 ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 + 1 ) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 + 1 ) = A 8 x + B 4 x 2 + 1 + C ( 2 x - 1 ) + D ( 2 x + 1 )

Isolando   1 , vamos achar

1 = A 8 x + B 2 x - 1 2 x + 1 + C 2 x + 1 4 x 2 + 1 + D ( 2 x - 1 ) ( 4 x 2 + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 0 ;                     B = - 1 2 ;                     C = 1 4 ;                 D = - 1 4 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

1 ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 + 1 ) = - 1 2 4 x 2 + 1 + 1 4 ( 2 x - 1 ) + - 1 4 ( 2 x - 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 1 ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) ( 4 x 2 + 1 ) d x = ∫ - 1 2 4 x 2 + 1 d x + ∫ 1 4 ( 2 x - 1 ) d x + ∫ - 1 4 ( 2 x - 1 ) d x    

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

Resposta

∫ 1 16 x 4 - 1 d x = 1 8   - 2   t a n - 1 ( 2 x ) + ln ⁡ 1   -   2   x - ln ⁡ 1   +   2   x + c

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