Enunciado

Ache a solução completa da equação diferencial (3) d y d t = 3 x 2 + 2 x - 7 .

Passo 1

Uma equação contendo derivadas é chamada de equação diferencial. O tipo mais simples de equação diferencial é a equação de primeira ordem da forma d y d t = f x , assim como a equação do nosso exercício! Escrevendo essa equação com diferenciais, temos

d y = f x d x

Podemos ver que o primeiro membro envolve somente a variável y, enquanto que o segundo membro, somente a variável x. Assim, as variáveis estão separadas e dizemos que elas são equações diferenciais com variáveis separáveis. Como resolver esse tipo de equação? Aplicamos a integração dos dois lados da igualdade!

d y d x = 3 x 2 + 2 x - 7 d y = 3 x 2 + 2 x - 7 d x ∫ d y = ∫ 3 x 2 + 2 x - 7 d x

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

∫ d y = ∫ 3 x 2 + 2 x - 7 d x y + K 1 = 3 x 3 3 + 2 x 2 2 - 7 x + K 2 y = x 3 + x 2 - 7 x + K

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

y = x 3 + x 2 - 7 x + K

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