Enunciado

No Exercício 14 na Seção 9.1 consideramos uma xícara de café a 95 ° C em uma sala com temperatura de 20 ° C . Suponha que o café esfrie a uma taxa de 1 ° C por minuto quando sua temperatura for 70 ° C .

  1. Como fica a equação diferencial nesse caso?
  2. Desenhe um campo de direções e use-o para esboçar a curva solução para o problema de valor inicial. Qual é o valor limite da temperatura?
  3. Use o método de Euler com o passo h = 2 minutos para estimar a temperatura do café após 10 minutos.

Passo 1

  1. Queremos encontrar uma equação diferencial que descreva o resfriamento de uma xícara de café a 95 ° C em uma sala com temperatura de 20 ° C que resfria a uma taxa de 1 ° C / m i n quando sua temperatura é de 70 ° C . Vamos lembrar que a taxa de resfriamento de um corpo quente é proporcional à diferença de temperatura com o ambiente, temos a equação d T d t = k ( T - 20 ) descrevendo a variação de temperatura. O que precisamos fazer agora é coletar os dados da questão e substituir nessa equação.
  2. Como a taxa de resfriamento é 1 ° C / m i m , d T d t = -1. O sinal negativo aparece porque a temperatura está diminuindo.

    Quando t = 70 , ficamos com: - 1 = k ( 50 )

    k = - 0,02

    Então a equação que a gente queria encontrar é

    d T d t =   - 0,02 ( T - 20 )

    Passo 2

  3. Queremos desenhar um campo de direções e usá-lo para esboçar uma solução para o nosso problema. Sabemos que conforme o tempo aumenta, a taxa de diminuição da temperatura diminui, então podemos desenhar:
  4. Para esboçar a curva que representa nossa solução, podemos marcar nosso ponto inicial (quando t = 0 ,     T = 95 ° C ) e traçar o resto do gráfico seguindo o campo de direções. Assim:

    Passo 3

    Agora queremos achar o valor limite da temperatura. Mas como encontramos ele? Fazendo d T d t = 0 ! Então:

    d T d t =   - 0,02 T - 20 = 0

    T = 20

    Assim, descobrimos que a temperatura limite é T = 20 ° C .

    Passo 4

  5. Queremos estimar a temperatura do café após 10 minutos, usando o método de Euler, com passo h = 2 .

Para começar, vamos lembrar o que diz o método de Euler: T t + h = T t + h d T d t

Sabemos que inicialmente, nossa xícara tinha temperatura igual a 95 ° C , então T 0 = 95

Precisamos calcular T 10 , então vamos usar a fórmula várias vezes até alcançar nosso objetivo.

Substituindo h = 2 ,   t = 0 ,   T 0 = 95 :

T 0 + 2 = T 0 - 2 ( 0,02 T ( 0 ) - 20 )  

T 2 = 95 - 0,04 95 - 20

T 2 = 92

Agora vamos fazer h = 2 ,   t = 2 ,   T 2 = 92

T 2 + 2 = T 2 - 2 ( 0,02 T 2 - 20 )

T 4 = 92 - 0,04 ( 72 )

T 4 = 89,12

Mais uma vez... h = 2 ,   t = 4 ,   T 4 = 89,12

T 4 + 2 = T 4 - 2 ( 0,02 T 4 - 20 )

T 6 = 89,12 - 0,04 89,12 - 20

T 6 = 86,3552

Agora, h = 2 ,   t = 6 ,   T 6 = 86,3552

T 6 + 2 = T 6 - 2 0,02 T 6 - 20

T 8 = 86,3552 - 0,04 86,3552 - 20

T 8 = 83,700992

Ufa, última vez! h = 2 ,   t = 8 ,   T 8 = 83,700992

T 8 + 2 = T 8 - 2 0,02 T 8 - 20

T 10 = 83,700992 - 0,04 83,700992

T 10 = 81,15295232

Resposta

  1. d T d t =   - 0,02 ( T - 20 )
  2. T = 20 ° C
  3. T 10 = 81,15295232
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