Enunciado

37. Ache a taxa de variação de y em relação a x no ponto (3, 2), se 7 y 2 - x y 3 = 4 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado nos pede para determinarmos a taxa de variação de y em relação a x, que é nada mais nada menos que a derivada de y em relação a x.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Derivando a fução dada e utilizando o item 2 mostrado acima vem

14 y d y d x - ( 1 d x d x y 3 + x 3 y 2 d y d x = 0

Passo 3

Isolando d y / d x  

d y d x 14 y - 3 x y 2 = y 3

d y d x = y 3 14 y - 3 x y 2

Passo 4

Aplicando o ponto (3, 2) na equação acima

d y d x = 2 3 14.2 - 3.3 . 2 2 = - 1

Resposta

d y d x = - 1

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