Enunciado

40. Há duas reats que passam pelo ponto (-1,3) que são tangentes à curva x 2 + 4 y 2 - 8 y + 3 = 0 .   Ache as equações de cada uma delas.

Passo 1

Nesta questão o enunciado nos pede para determinarmos a equação de duas restas tangente à curva no ponto dado. Para isso, devemos saber que a equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.

Uma equação de reta tangente pode ser obtida fazendo y como função de x e a outra reta tangente pode ser obtida fazendo x como função de y.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a )  é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

Passo 3

Aplicando o ponto dado (-1,3) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma

y = 3 8 . x + b

Passo 4

Substituindo o ponto (-1,3) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b 

3 = 3 8 . - 1 + b

b = 27 8

Assim , a equeção da reta tangente à curva (fazendo y como função de x) no ponto (-1,3) é

y = 1 8 ( 3 x + 27 )

Para obter a outra equação da reta tangente à curva no ponto dado basta encontrar dx/dy na expressão dada e repetir os mesmos passos anteriores.

Passo 5

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a )  é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

Passo 6

Aplicando o ponto dado (-1,3) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos

Então, até agora temos que a equação da reta tangente à curva no ponto está da seguinte forma

y = 8 3 . x + b

Passo 7

Substituindo o ponto (-1,3) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b 

3 = 8 3 - 1 + b

b = 17 3

Assim , a equeção da reta tangente à curva (fazendo x como função de y) no ponto (-1,3) é

y = 1 3 ( 8 x + 17 )

Resposta

y = 1 8 ( 3 x + 27 )

y = 1 3 ( 8 x + 17 )

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Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado. y = 1 s e nx+ cos ⁡ x , em 0,1
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a) Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2 xs e nx no ponto π 2 , π .b) Ilustre a a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da reta tangente na mesma tela.
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Encontre uma equação para a curva dada no ponto especificado. y = sec ⁡ x , em π 3 , 2