Ache o valor exato da quantidade dada.

sen(arcsen(2/3) + arccos(1/3))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é lembrar da fórmula das palmeiras:

s e n   a + b = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b cos ⁡ a

Assim, vamos ter que

s e n a r c s e n 2 3 + arccos ⁡ 1 3 = s e n a r c s e n 2 3 cos ⁡ arccos ⁡ 1 3 + s e n arccos ⁡ 1 3 cos ⁡ a r c s e n 2 3

Desta forma, vamos ter que

s e n a r c s e n 2 3 + arccos ⁡ 1 3 = 2 3 ⋅ 1 3 + s e n arccos ⁡ 1 3 cos ⁡ a r c s e n 2 3

Logo,

s e n a r c s e n 2 3 + arccos ⁡ 1 3 = 2 9 + s e n arccos ⁡ 1 3 cos ⁡ a r c s e n 2 3

Passo 2

Para calcular s e n arccos ⁡ 1 3 vamos fazer

x = arccos ⁡ 1 3 ⇒ cos ⁡ x = 1 3

Assim, pela relação fundamental:

1 9 + s e n 2 x = 1 ⇒ s e n 2 x = 8 9 ⇒ s e n   x = 2 2 3 ⇒ s e n   arccos ⁡ 1 3 = 2 2 3

Todos os arcos estão no primeiro quadrante, então nem vamos nos preocupar com os sinais...

Já para cos ⁡ a r c s e n 2 3 , teremos

x = a r c s e n 2 3 ⇒ s e n   x = 2 3

Portanto,

4 9 + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ cos 2 ⁡ x = 5 9 ⇒ cos ⁡ x = 5 3 ⇒ cos ⁡ a r c s e n 2 3 = 5 3

Por fim,

s e n a r c s e n 2 3 + arccos ⁡ 1 3 = 1 9 + 5 3 ⋅ 2 2 3 = 1 + 2 10 9

Resposta

1 + 2 10 9

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