Ache o valor exato da quantidade dada.

cos(arcsen(1/3) - arctan(1/2))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. Usaremos a fórmula do cosseno da diferença:

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n   a   s e n   b

Assim,

cos ⁡ a r c s e n 1 3 - arctan ⁡ 1 2 = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n   a   s e n   b ,

com a = a r c s e n 1 3 e b = arctan ⁡ 1 2 . Assim,

s e n   a = 1 3           e         tan ⁡ b = 1 2

Note que tanto a quanto b estão no primeiro quadrante.

Passo 2

Para achar cos ⁡ a :

1 9 + cos 2 ⁡ a = 1 ⇒ cos ⁡ a = 2 2 3

Já para b :

s e n   b cos ⁡ b = 1 2 ⇒ cos ⁡ b = 2   s e n   b

Assim,

4   s e n 2 b + s e n 2 b = 1 ⇒ s e n   b = 1 5 ⇒ cos ⁡ b = 2 5

Passo 3

Desta forma, como

cos ⁡ a r c s e n 1 3 - arctan ⁡ 1 2 = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n   a   s e n   b

Vamos ter que

cos ⁡ a r c s e n 1 3 - arctan ⁡ 1 2 = 2 2 3 ⋅ 2 5 + 1 3 ⋅ 1 5 = 1 + 4 2 3 5

Resposta

1 + 4 2 3 5

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