Enunciado

Nos exercícios de 1 a 6, ache a área da região limitada pelo gráfico da equação dada.

  1. r = 4 c o s 3 θ

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de θ . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação ao eixo polar, tomamos os limites de θ de 0 até π 6 , o que determina a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2. Como são 3 parte iguais , basta multiplicar todo o valor por 3.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 d θ = 2 . 3 . ( 1 2 ∫ 0 π 6 4 c o s 3 θ 2 d θ ) =

= 3   .     ∫ 0 π 6 16 . c o s 2 3 θ d θ = 48   . ∫ 0 π 6 1 2 1 + c o s 6 θ d θ = 24 . θ + 1 6 s e n 6 θ 0 π 6 =

= 24 . π 6 + 0 - 0 + 0 = 4 π

Resposta

A = 4 π

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