Enunciado

Ache o valor exato da quantidade dada.

s e n (arccos (- (2)/(3)) + 2 a r c s e n (- (1)/(3)))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é usar a fórmula do seno da soma:

s e n (a + b) = s e n a cos b + s e n b cos a

Assim, vamos usar essa expressão com

a = arccos (- (2)/(3)) e (b)/(2) = a r c s e n (- (1)/(3))

Notemos então que

cos a = - (2)/(3) e s e n (b)/(2) = - (1)/(3)

Passo 2

Para achar s e n a vamos usar a relação fundamental. Note que a está no segundo quadrante, de modo que s e n a > 0 :

(4)/(9) + s e n^2 a = 1 => s e n a = (sqrt(5))/(3)

Por outro lado, como s e n (b)/(2) < 0 , vemos que (b)/(2) está no quarto quadrante, de modo que cos (b)/(2) > 0 :

(1)/(9) + cos^2 (b)/(2) = 1 => cos (b)/(2) = (2 sqrt(2))/(3)

Assim,

s e n b = 2 s e n (b)/(2) cos (b)/(2) = 2 * (- (1)/(3)) * (2 sqrt(2))/(3) = - (4 sqrt(2))/(9)

Analogamente,

cos b = cos^2 (b)/(2) - s e n^2 (b)/(2) = (8)/(9) - (1)/(9) = (7)/(9)

Passo 3

Desta forma, como

s e n (arccos (- (2)/(3)) + 2 a r c s e n (- (1)/(3))) = s e n a cos b + s e n b cos a

Vamos ter que

s e n (arccos (- (2)/(3)) + 2 a r c s e n (- (1)/(3))) = (sqrt(5))/(3) * (7)/(9) + (- (4 sqrt(2))/(9)) * (- (2)/(3))

Logo,

s e n (arccos (- (2)/(3)) + 2 a r c s e n (- (1)/(3))) = (7 sqrt(5) + 8 sqrt(2))/(27)

Resposta

(7 sqrt(5) + 8 sqrt(2))/(27)

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