Ache o valor exato da quantidade dada.

sen(arccos(-2/3) + 2 arctan(-1/3))

Passo 1

A questão pede para calcularmos o valor das expressões. O primeiro passo é usar a fórmula do seno da soma:

s e n   a + b = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b cos ⁡ a

Assim, vamos usar essa expressão com

a = arccos ⁡ - 2 3         e       b 2 = a r c s e n   - 1 3

Notemos então que

cos ⁡ a = - 2 3               e               s e n b 2 = - 1 3

Passo 2

Para achar s e n   a vamos usar a relação fundamental. Note que a está no segundo quadrante, de modo que s e n   a > 0 :

4 9 + s e n 2 a = 1 ⇒ s e n   a = 5 3

Por outro lado, como s e n b 2 < 0 , vemos que b 2 está no quarto quadrante, de modo que cos ⁡ b 2 > 0 :

1 9 + cos 2 ⁡ b 2 = 1 ⇒ cos ⁡ b 2 = 2 2 3

Assim,

s e n   b = 2   s e n b 2 cos ⁡ b 2 = 2 ⋅ - 1 3 ⋅ 2 2 3 = - 4 2 9

Analogamente,

cos ⁡ b = cos 2 ⁡ b 2 - s e n 2 b 2 = 8 9 - 1 9 = 7 9

Passo 3

Desta forma, como

s e n   arccos ⁡ - 2 3 + 2   a r c s e n   - 1 3 = s e n   a cos ⁡ b + s e n   b cos ⁡ a

Vamos ter que

s e n   arccos ⁡ - 2 3 + 2   a r c s e n   - 1 3 = 5 3 ⋅ 7 9 + - 4 2 9 ⋅ - 2 3

Logo,

s e n   arccos ⁡ - 2 3 + 2   a r c s e n   - 1 3 = 7 5 + 8 2 27

Resposta

7 5 + 8 2 27

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