Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. sec^(-1)(sec(pi/3))
  2. sec^(-1)(sec(-pi/3))
  3. sec^(-1)(sec(2pi/3))
  4. sec^(-1)(sec(4pi / 4))

Passo 1

  1. sec - 1 ⁡ sec ⁡ π 3
  2. Devemos lembrar aqui que sec - 1 ⁡ x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou terceiro quadrante. E também que sec - 1 ⁡ sec ⁡ x = x quando x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 .

    Neste caso, π 3 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 . Então,

    sec - 1 ⁡ sec ⁡ π 3 = π 3

    Passo 2

  3. sec - 1 ⁡ sec ⁡ - π 3
  4. Vamos lembrar aqui que a função secante tem a mesma paridade que a função cosseno, ou seja, sec ⁡ y = sec ⁡ - y .

    Portanto, sec - 1 ⁡ sec ⁡ - π 3 = sec - 1 ⁡ sec ⁡ π 3 = π 3 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 .

    Passo 3

  5. sec - 1 ⁡ sec ⁡ 2 π 3
  6. Aqui vamos usar a fórmula α = 180 ° ⋅ θ π para ver que ângulo é esse em graus.

    α = 180 ° ⋅ 2 π 3 π = 12 0 °

    Portanto, sec - 1 ⁡ sec ⁡ 2 π 3 = sec - 1 ⁡ ( sec ⁡ 120 ° ) = sec - 1 ⁡ sec ⁡ ( 360 ° - 120 ° ) ⏟ sec ⁡ 24 0 ° = sec - 1 ⁡ sec ⁡ 2 π - 2 π 3 = sec - 1 ⁡ sec ⁡ 4 π 3 = 4 π 3 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 .

    Lembre-se que 4 π 3 radianos equivale a 240 ° .

    Passo 4

  7. sec - 1 ⁡ sec ⁡ 4 π 3

Neste caso, 4 π 3 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 . Então,

sec - 1 ⁡ sec ⁡ 4 π 3 = 4 π 3

Resposta

  1. π 3
  2. π 3
  3. 4 π 3
  4. 4 π 3
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