Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. sec^(-1)(sec(pi / 4))
  2. sec^(-1)(sec(-pi/4))
  3. sec^(-1)(sec(3pi/4))
  4. sec^(-1)(sec(5pi/4))

Passo 1

  1. sec - 1 ⁡ sec ⁡ π 4
  2. Devemos lembrar aqui que sec - 1 ⁡ x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou terceiro quadrante. E também que sec - 1 ⁡ sec ⁡ x = x quando x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 .

    Neste caso, π 4 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 . Então,

    sec - 1 ⁡ sec ⁡ π 4 = π 4

    Passo 2

  3. sec - 1 ⁡ sec ⁡ - π 4
  4. Vamos lembrar aqui que a função secante tem a mesma paridade que a função cosseno, ou seja, sec ⁡ y = sec ⁡ - y .

    Portanto, sec - 1 ⁡ sec ⁡ - π 4 = sec - 1 ⁡ sec ⁡ π 4 = π 4 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 .

    Passo 3

  5. sec - 1 ⁡ sec ⁡ 3 π 4
  6. Aqui vamos usar a fórmula α = 180 ° ⋅ θ π para ver que ângulo é esse em graus.

    α = 180 ° ⋅ 3 π 4 π = 135 °

    Portanto, sec - 1 ⁡ sec ⁡ 3 π 4 = sec - 1 ⁡ ( sec ⁡ 135 ° ) = sec - 1 ⁡ sec ⁡ ( 360 ° - 135 ° ) ⏟ sec ⁡ 225 ° = sec - 1 ⁡ sec ⁡ 2 π - 3 π 4 = sec - 1 ⁡ sec ⁡ 5 π 4 = 5 π 4 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 .

    Lembre-se que 5 π 4 radianos equivale a 225 ° .

    Passo 4

  7. sec - 1 ⁡ sec ⁡ 5 π 4

Neste caso, 5 π 4 ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 π 2 . Então,

sec - 1 ⁡ sec ⁡ 5 π 4 = 5 π 4

Resposta

  1. π 4
  2. π 4
  3. 5 π 4
  4. 5 π 4
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados