Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. tan^(-1)(tan(pi/3))
  2. tan^(-1)(tan(-pi/6))
  3. tan^(-1)(tan(4pi/3))
  4. tan^(-1)(tan(-7pi/6))

Passo 1

  1. tan - 1 ⁡ tan ⁡ π 3
  2. Devemos lembrar aqui que - π 2 < tan - 1 ⁡ x < π 2 , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou quarto quadrante. E também que tan - 1 ⁡ tan ⁡ x = x quando x ∈ - π 2 , π 2 .

    Neste caso, π 3 ∈ - π 2 , π 2 . Então,

    tan - 1 ⁡ tan ⁡ π 3 = π 3

    Passo 2

  3. tan - 1 ⁡ tan ⁡ - π 6
  4. Neste caso, - π 6 ∈ - π 2 , π 2 . Então,

    tan - 1 ⁡ tan ⁡ - π 6 = - π 6

    Passo 3

  5. tan - 1 ⁡ tan ⁡ 4 π 3
  6. Aqui vamos converter radianos para graus usando a fórmula α = 180 ° ⋅ θ π em que θ é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    α = 180 ° ⋅ 4 π 3 π = 24 0 °

    Portanto, tan - 1 ⁡ tan ⁡ 4 π 3 = tan - 1 ⁡ ( tan ⁡ 240 ° ) = tan - 1 ⁡ tan ⁡ ( 240 ° - 180 ° ) ⏟ tan ⁡ 6 0 ° = tan - 1 ⁡ tan ⁡ π 3 = π 3 ∈ - π 2 , π 2 .

    Passo 4

  7. tan - 1 ⁡ tan ⁡ - 7 π 6

Aqui vamos usar a fórmula α = 180 ° ⋅ θ π de novo.

α = 180 ° ⋅ - 7 π 6 π = - 21 0 °

Portanto, tan - 1 ⁡ tan ⁡ - 7 π 6 = tan - 1 ⁡ ( tan ⁡ - 21 0 ° ) = tan - 1 ⁡ tan ⁡ ( - 21 0 ° + 180 ° ) ⏟ tan ⁡ - 3 0 ° = tan - 1 ⁡ tan ⁡ - π 6 = - π 6 ∈ - π 2 , π 2 .

Resposta

  1. π 3
  2. - π 6
  3. π 3
  4. - π 6
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