Enunciado

Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

G x = 4 - x + 5 2 ,   s e - 6 ≤ x ≤ - 4 1 2 - x + 1 2 , s e - 4 < x ≤ 0 ; - 6 ,   0

Passo 1

Como a função é condicional, ela provavelmente não segue a mesma regra das outras funções que só tem uma equação. Como ela muda de comportamento a partir de outra equação, vamos fazer o gráfico da função e ver como ele pode nos ajudar a determinar os máximos e mínimos absolutos da função.

Lembre-se da equação de uma parábola genérica com vértice em a ,   b :

y = ± x - a 2 + b

O sinal positivo ou negativo fora do parêntese vai determinar a concavidade da parábola.

+ : Concavidade para cima

- : Concavidade para baixo

Vamos usar essas coisas para plotar o gráfico da nossa função com amor e carinho

Passo 2

A 1ª equação da nossa função nos dá:

4 - x + 5 2

Temos uma parábola! Ela tem concavidade para baixo por causa do sinal negativo e seu vértice é em - 5 ,   4 :

Mas só queremos ela no intervalo - 6 ≤ x ≤ - 4 . Ficamos então com esse pedaço da parábola:

Passo 3

No segundo caso da função temos outra parábola:

12 - x + 1 2

Ela também tem concavidade para baixo e seu vértice está em - 1 ,   12 . No gráfico isso fica:

Mas isso só vale para - 4 < x ≤ 0 . Vamos restringir o nosso domínio então:

Passo 4

Agora juntando os dois gráficos que encontramos teremos o gráfico da função!

Agora vamos analisar os máximos e mínimos da função.

Passo 5

Pelo gráfico vemos que o ponto de máximo é o ponto do vértice da 2ª parábola que já encontramos antes: - 1 ,   12

O mínimo da função é meio ambíguo, não podemos afirmar se o mínimo está no extremo esquerdo do intervalo ou se ele está na junção das duas parábolas. Vamos verificar fazendo o valor da função em cada um dos respectivos pontos: G ( - 6 ) e G ( - 4 ) /

G - 6 = 4 - - 6 + 5 2 = 4 - 1 = 3

G - 4 = 4 - - 4 + 5 2 = 4 - 1 = 3

Os dois pontos têm o mesmo valor! Então os dois são os mínimos globais da função.

Resposta

Mín. absoluto: - 6 ,   3 ,   - 4 ,   3

Máx. absoluto: - 1 ,   12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.15. Se f tiver um máximo relativo em x = 1 , então f ( 1
15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.17. Se f ' ' x0 , então f terá um mínimo relativo em x =
19-20. Esboce o gráfico de y = f ' ( x ) e de y = f ' ' x da função y = f x cujo gráfico é dado.
19-20. Esboce o gráfico de y = f ' ( x ) e de y = f ' ' x da função y = f x cujo gráfico é dado.
37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f . 42.f x = 2 x + 3 x 1 3