Enunciado

15-18. Verdadeiro/Falso. Suponha que f seja contínua em toda parte. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

15. Se f tiver um máximo relativo em x = 1 , então f ( 1 ) ≥ f 2 .

Passo 1

Então pessoal, para dizermos que a afirmação é falsa temos que encontrar um, apenas um, contra exemplo que refute tal afirmação. Tendo isso em vista, vamos tomar uma função f :

f x = x - 1 2 2 x - 3

Antes de provarmos que há um máximo relativo em x = 1 , vamos ver se f ( 1 ) ≥ f 2 , ok?

f 1 = 1 - 1 2 2.1 - 3 = 0

f 2 = 2 - 1 2 2.2 - 3 = 1

Opa, já vimos que f 2 > f 1 , então se a função f tiver um máximo relativo em x = 1 a afirmativa será falsa.

Passo 2

Encontrando os pontos críticos:

f ' x = 2 . x - 1 . 2 x - 3 + 2 x - 1 2

f ' x = 2 x - 1 2 x - 3 + x - 1

f ' x = 2 x - 1 3 x - 4 = 0

Disso tiramos dois pontos críticos: x = 1 ,   x = 4 3 . Então encontramos um ponto crítico em x = 1 , como queríamos. Agora temos que analisar como a derivada se comporta antes e depois desse ponto!

Passo 3

Para x < 1 temos que a derivada é:

f ' 0 = 2 . 0 - 1 3.0 - 4

f ' 0 = 8

Ou seja, f ' x > 0 (crescente). Para x > 1 temos que a derivada é:

f ' 2 = 2 . 1,2 - 1 3.1,2 - 4

f ' 2 = - 0,16

Ou seja, f ' x < 0 (decrescente). Como a derivada sai de crescente e vai para decrescente, então sem dúvida alguma x = 1 se trata de um ponto de máximo! Dessa forma, nossa conclusão é que a afirmação é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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