Enunciado

Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema.

∫ 1 4 ( x 2 + 4 x + 5 ) = 66

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Sabemos que a integral é a área abaixo do gráfico de uma função em dado intervalo, então o que o teorema diz é que existe um número dentro do intervalo para o qual a integral é igual a área de um retângulo com base ( b - a ) e com altura igual ao valor da função naquele ponto.

Pra acharmos qual é esse ponto χ , basta substituirmos diretamente os valores no teorema.

Passo 2

Temos então:

∫ 1 4 ( x 2 + 4 x + 5 ) = f χ 4 - 1

⇒ 3 f χ = 66 ⇒ f χ = 66 3 = 22

Mas f χ = χ 2 + 4 χ + 5 , então isso nos leva a equação do segundo grau:

χ 2 + 4 χ + 5 = 22 ⇒ χ 2 + 4 χ - 17 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação do segundo grau:

Δ = 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 17 = 16 + 68 = 84

χ = - b ± Δ 2 a = - 4 ± 84 2 ⋅ 1 = - 4 ± 2 21 2 = - 2 ± 21

Como χ deve estar no intervalo [ 1 ,   4 ] , temos então:

χ = - 2 + 21 ≈ 2,6

Passo 4

Para ilustrar o teorema, esboçamos o gráfico da função f x = x 2 + 4 x + 5 no intervalo [ 1 ,   4 ] e mostramos o retângulo com base na semi-reta que vai de ( 1,0 ) a ( 4,0 ) e altura igual a f - 2 + 21 = 22 .

Note que a integral tem valor A 2 + A 3 e o retângulo tem área A 1 + A 2 , e se essas duas áreas são iguais isso implica que A 1 = A 3 .

Resposta

χ = - 2 + 21

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