Enunciado

Ache os valores de máximo e mínimo da f sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (Se seu CAS acha some uma solução, você pode necessitar do uso de comandos adicionais).

f x , y , z = x + y + z ; x 2 - y 2 = z ,   x 2 + z 2 = 4

Passo 1

Temos que

f x , y , z = x + y + z ,     g x , y , z = x 2 - y 2 - z = 0 ,     h ( x , y , z ) = x 2 + z 2 = 4

Então vamos calcular

∆ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Isso implica que

1,1 , 1 = λ 18 x , 8 y , 72 z + μ 2 x , 0,2 z  

Então,

1 = 2 λ x + 2 μ x

1 = 2 λ y

1 = λ + 2 μ z

x 2 - y 2 = z

E

x 2 + z 2 = 4

Passo 2

Usando um CAS para resolver esses 5 equações simultaneamente para x , y , z , z , λ e μ (no Maple, use o comando allvalues), obtemos 4 reais soluções valiosas:

x ≈ - 1.652878 ,   y ≈ - 1.964194 ,   z ≈ - 1.126052 ,   λ ≈ 0.254557 ,   μ ≈ - 0.557060

x ≈ - 1.502800 ,   y ≈ 0.968872 ,   z ≈ 1.319694 ,   λ ≈ - 0.516064 ,   μ ≈ 0.183352

x ≈ - 0.992513 ,   y ≈ 1.649677 ,   z ≈ - 1.736352 ,   λ ≈ - 0.303090 ,   μ ≈ - 0.200682

x ≈ 1.895178 ,   y ≈ 1.718347 ,   z ≈ 0.638984 ,   λ ≈ - 0.290977 ,   μ ≈ 0.554805

Passo 3

Substituir esses valores em f , temos que:

f   - 1.652878 , - 1.964194 , - 1.126052 ≈ - 4.7431

f   ( - 1.502800,0.968872,1.319694 ) ≈ 0.7858

f - 0.992513,1.649677 , - 1.736352 ≈ - 1.0792

f   ( 1.895178,1.718347,0.638984 ) ≈ 4.2525

Então

Assim, o máximo é aproximadamente 4.2525 e o mínimo é aproximadamente - 4.7431

Resposta

o máximo é aproximadamente 4.2525 e o mínimo é aproximadamente - 4.7431

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