Enunciado

Formiga em uma placa de metal A temperatura em um

ponto (x, y) em uma placa de metal é T(x, y) = 4x2 – 4xy + y2.

Uma formiga sobre a placa anda ao redor de uma circunferência de raio 5 centrado na origem. Quais são as temperaturas

mais alta e mais baixa encontradas pela formiga?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos verificar que a temperatura em um ponto ( x , y ) sobre uma chapa metálica é T ( x , y ) = 4 x 2 - 4 x y + y 2 . Uma formiga anda sobre essa chapa, fazendo a trajetória de um círculo de raio 5 centrada na origem. Você sabe quais os pontos de maior e menor temperatura encontrada pela formiga? Vamos acompanhar a resolução para verificarmos esses pontos. Acompanhe!

Passo 2

Step 2 of 5 人Primeiramente, encontraremos o gradiente da função temperatura para cálculo por método dos multiplicadores de Lagrange, observe:

∇ T = ( 8 x - 4 y ) i + ( - 4 x + 2 y ) j . 

Repare que a restrição pode ser reescrita da seguinte forma:

g ( x , y ) = x 2 + y 2 - 25 = 0 . 

Agora, aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, veja:

∇ f = λ ∇ g ∇ g = 2 x i + 2 y j ∇ T = λ ∇ g   ( 8 x - 4 y ) i + ( - 4 x + 2 y ) = λ ( 2 x i + 2 y j )

Aqui, separando as componentes, temos:

8 x - 4 y = 2 λ x   - 4 x + 2 y = 2 λ y . 

Isolando y na segunda equação:

y = - 2 x λ - 1 , λ ≠ 1 . 

E usando o valor de y encontrado na primeira:

8 x - 4 - 2 x λ - 1 = 2 λ x . 

Encontramos que os possiveis valores que satisfazem a igualdade são:

x = 0 , λ = 0 , λ = 5 . 

Caso 1: Se x = 0 , então y = 0 (substituindo em y = - 2 x λ - 1 , λ ≠ 1 ). Entretanto, o ponto ( 0,0 ) não está sobre a função x 2 + y 2 = 25 . Logo x ≠ 0 .

Passo 3

Caso 2: Se λ = 0 , então y = 2 x (substituindo em y = - 2 x λ - 1 , λ ≠ 1 ). Substituindo na função o valor encontrado, temos:

x 2 + ( 2 x ) 2 = 25 x = ± 5  e  y = 2 x .

Passo 4

Caso 3: Se λ = 5 , então y = - 2 x 4 = - x 2 (substituindo em y = - 2 x λ - 1 , λ ≠ 1 ). Substituindo na função o valor encontrado, temos:

x 2 + - x 2 2 = 25 x = ± 2 5 .

Passo 5

Assim, temos ou que x = 2 5 , y = - 5 ou que x = - 2 5 , y = 5 .Aqui, voltamos os pontos encontrados no caso 3 , e encontramos a resposta do nosso exercício: T ( 5 , 2 5 ) = 0 ∘ = T ( - 5 , - 2 5 ) . sendo esse o valor mínimo encontrado pela formiga. T ( 2 5 , - 5 ) = 125 ∘ = T ( - 2 5 , 5 ) , sendo esse o valor máximo encontrado pela formiga.

Resposta

Resposta nos passos.

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