Enunciado

Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = y ² e x = y 4 , no primeiro quadrante

Passo 1

Desenhando o problema

No plano XY o solido tem essa forma. Com a curva verde a função x = y 4 e a azul x = y ²

Como é um solido de revolução. Então o seu volume é ∫ a b π f y 2 d y

Passo 2

Como agora o eixo é y. Nossa função é [ y 2 - y 4     ]. Visto que queremos a área embaixo de y 2 – a área embaixo y 4 , projetada em y.

No nosso caso o limite de integração é entre [ 1 , 0 ]

Logo : V = ∫ 0 1   π y 2 - y 4 2 d y     = π   ∫ 0 1   y 4 - 2 y 6 + y 8 d y        

= π y 5 5 + 2 y 7 7 + y 9 9 , y entre [1,0]

= π 1 5 - 2 7 + 1 9

Resposta

π 8 315

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