Enunciado

37. Um paraboloide de revolução é obtido fazendo girar a parábola y 2 = 4 p x em torno do eixo x. Ache o volume limitado por um paraboloide de revolução e um plano perpendicular a seu eixo, se o plano estiver a 10cm do vértice e se a seção plana de intersecção for um círculo com um raio de 6cm.

Passo 1

Antes de tudo, vamos esse paraboloide,

Pegamos a parábola e fatiamos, sendo a fatia um disco de raio y.

Passo 2

E a área do disco será

A = π y 2

A ( x ) = π 4 p x 2

A ( x ) = π ⋅ 4 p x

Passo 3

Antes de continuar, vamos descobrir quem é esse danado do p.

Sabemos que o ponto (10,6) está na parábola, então, colocaremos esse ponto na equação.

6 2 = 4 p ⋅ 10

36 = 4 0 p

p = 36 40

p = 9 10

Então, a equação da parábola ficará assim:

y 2 = 4 ⋅ 9 10 x

y 2 = 18 5 x

Passo 4

A integral terá a seguinte cara:

V = ∫ a b A ( x ) d x

V = ∫ 0 10 π ⋅ 18 5 x d x

Lembrando que x está variando entre 0 e 10.

Resolvendo a integral:

V = π ⋅ 18 5 ⋅ x 2 2 | 0 10      

= π ⋅ 18 5 ⋅ 10 2 2     - ( 0 )

= 180 π

Resposta

= 180 π

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