Enunciado

Ache o volume do solido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em torno da reta indicada.

Uma equação da curva na figura é y 2 = x 3

O B C em torno do eixo y

Passo 1

A figura que ele deu é:

Com a curva

y 2 = x 3

Aqui, queremos o colume de O B C em torno do eixo y .

A região é entre a curva e o eixo y.

Como estamos trabalhando com rotação no eixo y , devemos olahr o intervalo de variação nele.

Com y = 0 até y = 8 . Onde o raio do disco vai ser a própria função:

Para acharmos a função, vamos isolar o x

x = y 2 3

Assim:

r y = y 2 3

O volume vai ser:

V = ∫ 0 8 π y 2 3 2 d y

V = ∫ 0 8 π y 4 3 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 8 π y 4 3 d y

V = π ∫ 0 8 y 4 3 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ y 4 3 d y = y 7 3 7 / 3 + C = 3 7 y 7 3 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 8 y 4 3 d y = π 3 7 y 7 3 0 8 =

π 3 7 8 7 3 - π 3 7 0 7 3 =

Lebmrando que

8 7 3 = 8 3 7 = 2 7

Vamos ter:

π 3 7 2 7 =

π 3 7 128

384 π 7

Resposta

384 π 7

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Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada. R 2 em torno de A B
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quei) y ≥ x 2ex 2 + y 2 ≤ 2 .
1 - Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x , do conjunto de todos os pares x ,y tais queM - x 2 + y - 2 2 ≤ 1
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quel) 1 x ≤ y ≤ 1e1 ≤ x ≤ 2 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais qued) 2 x 2 + y 2 ≤ 1ey ≥ 0