Enunciado

Ache o volume do sólido de revolução geradp éça rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta 4 .

A reta x = 4

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

Aqui, queremos o volume em torno da reta x = 4 .

A região é entre curva verde e a curva azul.

Como estamos trabalhando com rotação no eixo y , devemos olahr o intervalo de variação nele.

Para isso, devemos fazer x = 0 e x = 4 na equação da curva:

x = 0 → y = 0 = 0

x = 4 → y = 4 = 2

Com y = 0 até y = 2 .

Para acharmos a função em y , já que estamos rodando paralelo ao eixo y , vamos isolar o x

y = x → x = y 2

O raio é a distância do eixo de rotação até a função

Da azul para a verde, vamos ter:

r x = 4 - y 2

O volume vai ser:

V = ∫ 0 2 π 4 - y 2 2 d y

V = ∫ 0 2 π 16 - 8 y 2 + y 4 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 2 π 16 - 8 y 2 + y 4 d y

V = π ∫ 0 2 16 - 8 y 2 + y 4 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ 16 - 8 y 2 + y 4 d y = 16 y - 8 y 3 3 + y 5 5 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 2 16 - 8 y 2 + y 4 d y = π 16 y - 8 y 3 3 + y 5 5 0 2 =

π 16 . 2 - 8 2 3 3 + 2 5 5 - π 16 . 0 - 8 0 3 3 + 0 5 5 =

π 32 - 64 3 + 32 5 =

π 480 - 320 + 96 1 5 =

256 1 5 π

Resposta

256 15 π

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