Admita que, para todo (x, y)

x \* (∂f/∂x)(x, y) - y \* (∂f/∂y)(x, y) = 0

Mostre que g(t) = f(t, 2/t), t > 0 é constante.

Passo 1

Para mostrar que g t é constante, basta mostrar que a derivada de g t resulta em zero.

g t = f t , 2 t

g t ' = f t , 2 t '

g ' t = ∂ f ∂ x t , 2 t ⋅ 1 + ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ - 2 t 2

g ' t = ∂ f ∂ x t , 2 t - ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ 2 t 2

Precisamos arranjar uma forma para que a nossa g ' t   fique parecida com

x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0

Multiplicando t em ambos os lados da equação,

t ⋅ g ' t = t ⋅ ∂ f ∂ x t , 2 t - ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ 2 t 2

t ⋅ g ' t = t ⋅ ∂ f ∂ x t , 2 t - ∂ f ∂ y t , 2 t ⋅ 2 t

Agora que está parecido, podemos substituir,

t ⋅ g ' t = 0

g ' t = 0 t

g ' t = 0

∴ g t   é constante.

Resposta

g t   é constante.

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