Enunciado

Verificar que a equação dada define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Determinar d y / d x .

b) x 3 + y 3 + y + 1 = 0

Passo 1

Bom, pessoal, vamos analisar as hipóteses do teorema da função implícita. Seja F x , y = x 3 + y 3 + y + 1 . Vamos encontrar as derivadas parciais dessa função:

∂ F ∂ x = 3 x 2

∂ F ∂ y = 3 y 2 + 1

Podemos observar que ambas as derivadas são contínuas em R 2 . Logo, podemos garantir que x 3 + y 3 + y + 1 = 0 define implicitamente uma função diferencial!

Passo 2

Agora precisamos descobrir d y d x !

3 x 2 ⋅ d x d x + 3 y 2 ⋅ d y d x + d y d x = 0

d y d x 3 y 2 + 1 = - 3 x 2

d y d x = - 3 x 2 3 y 2 + 1

Resposta

A derivada é igual a:

d y d x = - 3 x 2 3 y 2 + 1

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Supondo que a função diferenciável y = f ( x ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar sua derivada d y d x .a) 9 x 2 + 4 y 2 = 36
Supondo que a função diferenciável y = f ( x ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar sua derivada d y d x .b) 2 x 2 - 3 y 2 = 5 x y
Supondo que z = z ( x , y ) é definida implicitamente por f x z , y z = 0 , mostrar que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = z .
Pode-se garantir que a equação x 3 + 2 x y + y 3 = 8 define implicitamente alguma função diferenciável y = y ( x ) ? Em caso positivo, determinar d y d x .
Verificar que a equação dada define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = y ( x ) . Determinar d y / d x .a) e x y = 4