1.

A equação x + z + y + z 2 = 6 define z implicitamente como função de x e y . Calcule ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y ,   ∂ 2 z ∂ x ∂ y e ∂ 2 z ∂ y ∂ x .

Resolução
2.

Seja

3 x 3 y z - z 2 y = sen ⁡ x z + e 2 x y 2

Calcule as derivadas parciais de z em relação a x e y .

Resolução
3.

Considere a curva dada por

3 x 2 + x 2 y 2 + x y = 5

Calcule y ' x .

Resolução
5.

Determine ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y para

y z + x ln ⁡ y = z 2

Resolução
6.

Use derivação implícita para calcular ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y , onde z = z ( x , y ) é dado implicitamente através da expressão

y z = ln ⁡ ( x + z )

Resolução
7.

Considere que z 3 - x z - y = 0

  1. Encontre ∂ z ∂ y e ∂ z ∂ x
  2. Verifique que

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - 3 z 2 + x 3 z 2 - x 3

Resolução
8.

Considere a função

z = f ( x , y )

Definida implicitamente por

x y z = cos ⁡ ( x + z ) + ln ⁡ ( y + z )

Utilizando a regra da cadeia, obtenha as expressões das derivadas parciais ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

Resolução
9.

Seja f t ,   t ∈ R , uma função de classe C 1 e a função:

h : R 2 → R

x , y → f x y 2

Determine se é verdadeira ou falsa a afirmativa de que, para todo ponto ( x ,   y ) de R 2 , vale a seguinte relação entre as derivadas parciais de h :

2 x ∙ ∂ h ∂ x x ,   y - y ∙ ∂ h ∂ y x ,   y = 0

Resolução
10.

Suponha que a equação

y 2 + x z + z 2 - e z - c = 0

Define z implicitamente como função de x e y , ou seja, z = f ( x , y ) . Determine o valor da constante c para o qual f 0 , e = 2 e calcule ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y no ponto x , y = ( 0 , e ) .

Resolução

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