Enunciado

  1. Quais afirmações a seguir sobre a função y = f ( x ) representadas no gráfico são verdadeiras e quais são falsas?
  1. lim x → - 1 + ⁡ f x = 1 b) lim x → 2 ⁡ f x   n a o   e x i s t e c) lim x → 2 ⁡ f x = 2

d) lim x → 1 - = ⁡ 2 e) lim x → 1 + ⁡ f x   = 1 .   f) lim x → 1 ⁡ f x     n a o   e x i s t e

g) lim x → 0 +   ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ f ( x ) h) lim x → c ⁡ f x e x i s t e   p a r a   c   n o   i n t e r v a l o   ( - 1,1 ) i) lim x → c ⁡ f x e x i s t e   p a r a   c   n o   i n t e r v a l o   ( 1,3 ) j) lim x → - 1 - ⁡ f x = 0 k) lim x → 3 + ⁡ f x   n ã o   e x i s t e

Passo 1

Fazendo a análise ponto por ponto a explicação temos:

Para x = - 1 :

Como não existe gráfico a esquerda de x logo não temos limite a esquerda de x logo também não existe um valor definido de limite para essa função logo:

lim x → - 1 - ⁡ f x n a o   e x i s t e →   lim x → 1 ⁡ f x   t a m b e m   n a o   e x i s t e

Mas existe limite nesse ponto vindo pela direita e a função tem valor igual a 1

lim x → - 1 + ⁡ f x = 1

Para x = 0 :

Vindo pela esquerda desse valor de x tende a valer 0, assim como vindo pela direita então:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = 0

Logo como vindo pela esquerda e vindo pela direita tendem ao mesmo valor logo o limite bilateral também será o mesmo:

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Passo 2

Continuando para os outros pontos temos:

Para x = 1 :

Vindo pela esquerda a função encontra um ponto aberto que tende a 2:

lim x → 1 - ⁡ f x = 2

E vindo pela direita a função encontra um ponto fechado em y = 1 tendo nosso limite a direita:

lim x → 1 + ⁡ f x = 1

Como em o limite de uma lado é diferente do outro não podemos dizer que existe um limite bilateral:

lim x → 1 ⁡ f x   n a o   e x i s t e

Para x = 2

A esquerda esse valor é uma reta valendo 1.

lim x → 2 - ⁡ f x = 1  

Vindo pela direita a função é a mesma reta em y = 1 , logo:

lim x → 2 + ⁡ f x = 1

Como os limites a direita e a esquerda são iguais, logo o limite bilateral também é, independente se ela de fato não valha esse valor:

lim x → 2 ⁡ f x = 1

Finalmente para x = 3 :

Vindo pela esquerda temos a função na reta y = 1 , logo:

lim x → 3 - ⁡ f x = 1

Pela direita não temos uma função definida logo não o limite a direita e nem a bilateralidade:

lim x → 3 + ⁡ f x = l i m x → 3     n a o   e x i s t e

Resposta

  1. Verdadeiro.
  2. Falsa, existe e vale 1.
  3. Falso.
  4. Verdadeira
  5. Verdadeiro.
  6. Verdadeiro
  7. Verdadeiro.
  8. Verdadeiro. Como não inclui x = 1 então todos os outros pontos são definidos.
  9. Verdadeiro, existe para x = 2 também
  10. Falso, ele não existe
  11. Verdadeiro
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