Enunciado

10-

Faça os gráficos das funções nos Exercícios 9 e 10. Em seguida, responda às questões.

  1. Qual é o domínio e a imagem de f ?
  2. Em que pontos c , se houver, lim x → c ⁡ f ( x ) existe?
  3. Em que pontos existe o limite a esquerda?
  4. Em que pontos existe o limite a direita?

Passo 1

Representando a primeira linha temos uma reta y = x no domínio indo de [ - 1,0 ) e em ( 0,1 ] como representado na figura abaixo em vermelho.

Agora a segunda linha nos diz que em x = 0 o nosso ponto vale 1, como em azul:

Agora a terceira linha diz que para x > 1 e x < - 1 temos o valor 0, como o que se encontra em verde.

Passo 2

Letra a)

O domínio é tudo aquilo que é representável no eixo x e por mais que tenhamos alguns pontos abertos em alguns pontos temos também pontos fechados nesses mesmos pontos, logo nosso domínio se encontra em todos os reais.

D :   - ∞ < x < ∞

Já a imagem é tudo aquilo que se encontra no eixo y e a mesma tem um alcance limitado a -1 e 1, onde eu consigo alcançar esses dois pontos:

I :   - 1 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Letras b c d)

A função possui quatro intervalos bem definidos pela quebra de continuidade que são:

( - ∞ , - 1 )

[ - 1,0 )

( 0,1 ]

( 1 , ∞ )

Então temos que analisar os limites nos pontos em x = - 1 , x = 0 e x = 1 .

Em x = - 1 :

A esquerda temos a reta y = 0 que tende a dar 0 em x = - 1

E a direita a reta y = - 1 temos a reta y = x que tende a dar -1

Como os limites são diferentes então não temos a bilateralidade

Em x = 0 :

A esquerda temos a reta y = x que tende a dar zero.

A direita a mesma coisa

Logo temos a bilateralidade, então temos um limite definido nesse ponto

Em x = 1 :

A esquerda temos a reta y = x que nos dá valor da função igual a 1

A direita temos a reta y = 0 , o que dá valor de função igual a zero.

Como os resultados são diferentes

Como a letra b quer saber os valores de x nas quais eu possuo a bilateralidade, então em tenho que descartar x = - 1 e x = 1 , o que dá um domínio de:

- ∞ , - 1   ⋃ ( - 1,1 ) ⋃ ( 1 , ∞ )

Como todos esses pontos críticos possuem limites a esquerda e a direita além de todos onde tem função contínua logo todo o domínio é a resposta.

Resposta

  1. Domínio: - ∞ < x < ∞ , Imagem: - 1 ≤ y ≤ 1
  2. - ∞ , - 1   ⋃ ( - 1,1 ) ⋃ ( 1 , ∞ )
  3. - ∞ < x < ∞
  4. - ∞ < x < ∞
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