Enunciado

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Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e V litros for o volume de água na piscina t min após começar o escoamento, onde

V = 250 ( 1600 - 80 t + t 2 )

  1. Ache a taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.

Passo 1

O enunciado nos fornece como o volume varia com o tempo, que nada mais é que a função V(t).

Achar a taxa de variação média neste caso do item “a” é ver como o volume varia em um determinado intervalo de tempo que no caso é o intervalo de 0 min até 5 min que é 5 min. O cálculo de variação média pode ser feito através da seguinte fórmula:

F x 1 + Δ x - F x 1 Δ x

Onde F é uma função qualquer, x1 é uma constante qualquer e Δx é a variação de x.

Passo 2

No nosso caso o F é o V e o x1 é t = 0 e o Δx é uma variação de tempo Δt = 5 min. Então a fórmula fica da seguinte maneira:

V t 1 + Δ t - V t 1 Δ t ⇒ V 0 + 5 - V 0 5 ⇒ V 5 - V 0 5

Em palavras essa fórmula para nossa situação significa, o volume no instante de tempo final menos o volume no instante inicial, divido pelo t final menos o t inicial.

Passo 3

Vamos calcular V(0) e V(5):

V 0 = 250 1600 - 80 0 + 0 2

    = 250 ⋅ 1600 = 400000

V 5 = 250 1600 - 80 5 + 5 2

      = 250 1600 - 400 + 25

= 250 1225 = 306250

Agora só realizar a seguinte operação:

V 5 - V 0 5 = 306250 - 400000 5

                                                      = - 93750 5 = - 18750

Isso significa que o volume em média diminui 18750 litros por minuto nesse intervalo de tempo, por isso o sinal negativo no resultado.

Resposta

Assim a taxa média de variação do volume é de -18750 litros por minuto.

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