Enunciado

Duas carretas, A e B , estão conectadas por uma corda de 12   m que passa por uma polia P (veja a figura). O ponto Q no chão está 4   m diretamente abaixo de P e entre as carretas. A carreta A está sendo puxada, afastando-se de Q a uma velocidade de 0,5   m / s . Quão rápido se mova a carreta B em direção a Q no instante em que A estiver 3   m de Q ?

Passo 1

O enunciado nos da a seguinte situação:

As carretas da figura acima estão conectadas por uma corda de 12   m que passa por uma polia P . O ponto Q no chão está 4   m diretamente abaixo de P e entre as carretas. A carreta A está sendo puxada, afastando-se de Q a uma velocidade de 0,5   m / s .

Fazendo um desenho esquemático:

Temos então:

d x d t = 0,5   m / s

Dito isso, queremos saber: Qual é a taxa de movimento, ou seja, a velocidade, da carreta B em direção ao ponto Q no exato instante em que a carreta A se encontra a uma distância de 3 metros em relação ao ponto Q?

Ou seja, queremos:

d y d t

Passo 2

Agora a gente precisa escrever equações que relacionam essas vari��veis!

Repara que é como se a gente tivesse dois triângulos retângulos colados, então aplicando pitágora, temos:

a 2 = x 2 + 4 2

12 - a 2 = y 2 + 4 2

Passo 3

Isolando a nas duas equações já que ele não nos interessa:

a = x 2 + 16

a = 12 - y 2 + 16

Igualando as duas equações temos:

x 2 + 16 = 12 - y 2 + 16

Passo 4

Agora que temos a relação entre x e y , vamos derivar relação ao tempo t , em segundos. Usando derivação implícita:

d x 2 + 16 d t = d 12 - y 2 + 16 d t

Usando a regra da cadeia, temos:

1 2 16 + x 2 - 1 2 × 2 x d x d t = - 1 2 16 + y 2 - 1 2 × 2 y × y ' t

d x d t x x 2 + 16 = - d y d t y y 2 + 16

d y d t = - d x d t x x 2 + 16 y y 2 + 16

Passo 5

Agora precisamos calcular y . Quando A estiver 3   m de Q ou seja, x = 3 :

x 2 + 16 = 12 - y 2 + 16

3 2 + 16 = 12 - y 2 + 16

5 = 12 - y 2 + 16

y 2 + 16 = 7

y 2 + 16 = 49

y = 33   m

Como A se afasta a 0,5   m / s , então essa é a taxa de variação com que x cresce, ou seja, d x d t = 0,5   m / s . No dado instante x = 3   m e y = 33   m . Vamos substituir isso na derivada:

d y d t = - 0,5 3 3 2 + 16 33 33 2 + 16

d y d t = - 2.1 33 = - 0,3655630775

Logo, a distância da carreta B ao ponto Q nesse instante diminui (ele está se aproximando) a uma velocidade de aproximadamente 0,37   m / s .

Resposta

A distância da carreta B ao ponto Q nesse instante diminui a uma velocidade de aproximadamente 0,37   m / s .

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