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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart - 14.4 - 22

A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade. Os valores da função h = f   ( v , t ) são apresentados na seguinte tabela.

Use a tabela para determinar uma aproximação linear da função altura da onda quando v está próximo de 80   k m / h e t está próximo de 20 horas. Em seguida, estime a altura das ondas quando está ventando por 24 horas a 84   k m / h .

Passo 1

Show de bola, galera! Vamos resolver essa questão em 3 passos!

Nesse primeiro passo, vamos só relembrar os conceitos principais para resolver a questão, beleza?

Como estamos procurando uma aproximação para uma função de 2 variáveis, devemos nos lembrar que essa aproximação será dada por:

f x , y ≈ f a , b + f x a , b x - a + f y a , b y - b

Show? Lembrou? De boas, né....beleza. Agora vamos relembrar o procedimento que a gente pode utilizar para calcular uma aproximação para derivada quando temos diversos valores de função apresentados igual aos que estão na tabela do enunciado.

Nesses casos, vamos fazer 2 estimas para f x ( a , b ) e f y ( a , b ) , respectivamente, e usar a média dessas estimativas como estimativa final. Ficou confuso?

Vamos fazer o seguinte:

f x , 1 a , b  estimativa 1 para  f x a , b

f x , 2 a , b  estimativa 2 para  f x a , b

f y , 1 a , b  estimativa 1 para  f y a , b

f y , 2 a , b  estimativa 2 para  f y a , b

f x a , b ≅ f x , 1 a , b + f x , 2 a , b 2

f y a , b ≅ f y , 1 a , b + f y , 2 a , b 2

Bom...melhor irmos logo fazer as contas, né

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Passo 2

f x , 1 80,20 = f 100,20 ⏞ 12,2 - f 80,20 ⏞ 8,6 20 = 0,18

f x , 2 80,20 = f 60,20 ⏞ 5,2 - f 80,20 ⏞ 8,6 - 20 = 0,17

f y , 1 80,20 = f 80,30 ⏞ 9,5 - f 80,20 ⏞ 8,6 10 = 0,09

f y , 2 80,20 = f 80,15 ⏞ 7,7 - f 80,20 ⏞ 8,6 - 5 = 0,18

Assiiimm....

f x 80,20 ≅ f x , 1 80,20 + f x , 2 80,20 2 = 0,18 + 0,17 2 = 0,175

f y 80,20 ≅ f y , 1 80,20 + f y , 2 80,20 2 = 0,09 + 0,18 2 = 0,135

Passo 3

Looogooo, voltando para a aproximação...

f x , y ≈ f 80,20 + f x 80,20 x - 80 + f y 80,20 y - 20

f x , y ≈ 8,6 + 0,175 x - 80 + 0,135 y - 20

Para a aproximação que queremos no enunciado:

f 84,24 ≈ 8,6 + 0,175 84 - 80 + 0,135 24 - 20 = 9,84

Resposta

f x , y ≈ 8,6 + 0,175 x - 80 + 0,135 y - 20

f 84,24 ≈ 9,84

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