1.
  1. Determine a equação, na forma z = a x + b y + c , do plano tangente ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 no ponto 3,4 , f 3,4 .
  2. Calcule um valor aproximado para 3,02 2 + 3,97 2
Resolução
2.

Seja z = x e x 2 - y 2 .

  1. Calcule um valor aproximado para a variação Δ z em z , quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002
  2. Calcule um valor aproximado para z correspondente a x = 1,01 e y = 1,002
Resolução
3.

Encontre a linearização L x , y da função

f x , y = e x cos ⁡ y

em P 0 = ( 0,0 )

Então encontre um limitante superior para a magnitude | E x , y | do erro na aproximação f ( x , y ) ≈ L ( x , y ) , sabendo que

x ≤ 0,1     e     y ≤ 0,1

(Use e x < 1,11 e cos ⁡ y ≤ 1 para estimar E ( x , y ) ).

Resolução
4.

Usando uma aproximação linear, temos que o valor estimado de

ln ⁡ 1,01 2 + 0,1 4

É:

a 0,19

b 0,2

c 0,02

d 0,019

e 0,21

Resolução
5.

Seja z = x e x 2 - y 2 .

  1. Calcule um valor aproximado para a variação Δ z em z , quando se passa de x = 1 e y = 1 para x = 1,01 e y = 1,002
  2. Calcule um valor aproximado para z correspondente a x = 1,01 e y = 1,002
Resolução
7.

Considere a função f x , y , z = e x 2 + y 2 - z .

a) Encontre o domínio e a imagem de f x , y , z .

b) Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y , z no ponto 1,1 , 2 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Identifique e esboce a superfície de nível que passa pelo ponto 1,1 , 2 . Esboce o vetor gradiente no mesmo ponto 1,1 , 2 . Qual é a relação geométrica entre a superfície de nível e o vetor gradiente?

d) Encontre a linearização de f x , y , z em 1,1 , 2 , use-a para calcular aproximadamente f 1,1 ,   1,1 ,   1,9 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Resolução
8.

Considere a função f x , y = x 2 y + e y 5 - 5 .

a) Calcule f x 1 , 1 , f y 1 , 1 e explique as suas interpretações geométricas.

b) Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y no ponto 1 , 1 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 1 , 1 , f 1,1 .

d) Encontre a linearização de f x , y em 1,1 , use-a para calcular aproximadamente f 1 , 1 ,     0,9 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Resolução
9.

Considere a função f x , y = 3 x 2 - x y + y 2

  1. Calcule f x 1,1 e f y 1,1 e explique as suas interpretações geométricas
  2. Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y no ponto 1,1 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre
  3. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 1,1 , 3
  4. Encontre a linearização de f x , y em 1,1 , use-a para calcular aproximadamente f 0.98 ,   1.02 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .
Resolução
10.

Considere a função f x , y = 1 + x ln ⁡ x y - 5 .

a) Calcule f x 2,3 , f y 2,3 e explique as suas interpretações geométricas.

b) Encontre a taxa máxima de variação da função f x , y no ponto 2,3 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 2,3 , 1 .

d) Encontre a linearização de f x , y em 2,3 , use-a para calcular aproximadamente f 1,98 ,     3,2 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Resolução
11.

Considere a função

f x , y = x e x 2 - y 2

  1. Obtenha uma equação para o plano tangente ao gráfico de f no ponto f 1 , 1 , f 1,1
  2. Use uma linearização conveniente de f para obter um valor aproximado de

1,01 e 1,01 2 - 0,98 2

Resolução
12.

Considere a função:

f x , y = 5 x 2 + y 2

c) Encontre uma boa aproximação linear para o valor da função no ponto 1,1 ; 6

Resolução
13.
  1. Encontre uma aproximação linear para 4,01 2 + 3,98 2 + 2,02 2 .
  2. Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z = f x 2 + y 2 . Mostre que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0 .
Resolução
14.

Considere a função f x , y = 1 + x l n x y - 5 .

  1. Encontre a linearização da função no ponto 2,3
  2. A linearização encontrada no item anterior é uma boa aproximação para a função no ponto dado 2,3 ?
Resolução
15.

Dada

f x , y = e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ x

  1. Determine o plano tangente ao gráfico de f pela origem.
  2. Determine se a aproximação do plano tangente é uma boa aproximação na proximidade de ( 0,0 )
Resolução
16.

Encontre a equação do plano tangente à superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 14

No ponto ( 1,2 , 3 ) :

  1. Usando a equação na forma z = f ( x , y )
  2. Admitindo que a equação dada define z implicitamente como função de x e y .
  3. Encontre a aproximação linear para z = f ( x , y ) no ponto 0,0 , 14 . A aproximação encontrada é boa?
Resolução
17.

Seja

f x , y = ln ⁡ 1 - x e 1 - y - x e y

Com

1 - x e 1 - y - x e y > 0

Seja Π o plano tangente ao gráfico de f no ponto 0 , 1 2 ,   f 0 , 1 2 .

  1. Escreva o vetor N , normal ao gráfico de f no ponto 0 , 1 2 ,   f 0 , 1 2 . Escreva a equação cartesiana de Π .
  2. Determine dois vetores tangentes a Π , sendo v → pertencente ao plano x = 0 e w → pertencente ao plano y = 0 .
  3. Exiba uma parametrização para Π
  4. Usando obrigatoriamente aproximação linear, calcule o valor aproximado de f 0.03 ,   0.52
Resolução
18.

Considere a função

f x , y = 1 + x ln ⁡ x y - 5

  1. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de z = f ( x , y ) no ponto 2,3 , f 2,3
  2. Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de f ( x , y ) se x = 2,03 e y = 2,95
Resolução
19.

Questão 1: Considere a função f x ,   y = x e x y .

  1. Encontre a linearização de f no ponto 2 ,   0 .
  2. Use o resultado do item anterior para encontrar um valor aproximado para

1,9 e - 1,9 × 0,1

Resolução
20.

Considere a função

f x , y = e - x y cos ⁡ y

  1. A função é diferenciável no ponto ( π , 0 ) ? Justifique
  2. Encontre a linearização de f no ponto ( π , 0 )
Resolução
21.

Considere a função

f x , y = y + cos ⁡ x y

a) Determine a equação do plano tangente à superfície z = f ( x , y ) no ponto P = ( 0,3 , f 0,3 )

b) Determine uma equação da reta normal ao plano tangente do item anterior no ponto P

c) Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de f ( x , y ) se x = 0.3 e y = 2.7

Resolução
22.

Considere a função f x , y = x 3 + y 2 . Utilizando a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 2 , 1 , f 2,1 ) . 0 valor aproximado de f ( 2.2 ,   1.3 ) é:

  1. 3.2
  2. 2.8
  3. 3.1
  4. 2.9
  5. 3.3
Resolução
23.

Considere a função

f x , y , z = x e y z ,   z ≠ 0

a) Encontre a aproximação linear L x , y , z de f x , y , z no ponto 2,0 , 1 .

b) Utilize L x , y , z para encontrar uma aproximação para f 1.9970 ,   0.0020 ,   1.0012 .

c) Determine os pontos x , y , z , z ≠ 0 , tais que ∇ f x , y , z = - 1,1 , 1 .

Resolução
24.

Usando aproximação linear, determine o valor aproximado de 4.05 2 + 2.93 2 .

a 4.958

b 4.998

c 4.918

d 5.002

e 5.042

Resolução

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