Enunciado

A altura e o raio de um cilindro circular reto são iguais, de modo que o volume desse cilindro é dado por V = π h 3 O volume deve ser calculado com um erro menor que 1% em relação ao valor real. Determine aproximadamente o maior erro que pode ser tolerado na medição de h, expressando-o como porcentagem de h.

Passo 1

A porcentagem de erro no cálculo de algum valor X é dado pelo quociente entre a variação do valor e o próprio valor. Traduzindo pra matemática: P e = d X x .

Isso porque o erro é dado pela variação d x e a porcentagem é feita em cima do valor inicial X. Mas para simplificar vamos usar a relação acima.

Assim, a porcentagem do erro de cálculo do volume é d V V < 1 % (dado no enunciado); a porcentagem de erro de cálculo da altura é dada por: d h h .

Temos que a V = π h 3 ,   d V = 3 π h 2 d h . (derivamos)

Substituindo na porcentagem de erro então temos: d V V = 3 π h 2 d h π h 3

Simplificando: d V V = 3 d h h , substituindo pelo valor do erro dado:

1 % < 3 × d h h

(Observe que o que temos é o erro do volume e queremos o erro do cálculo da altura)

Daí: d h h < 0,33 %

Ou seja, a porcentagem de erro máxima no cálculo da altura do cilindro é 0,33%.

Resposta

0,33%

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